Update

README.md

@@ -106,6 +106,7 @@ Also, all authors for some updates are participants special channel into communi
 - @sem ([GitHub](https://github.com/SemyonSinchenko)): multiple lectures
 - @zimka ([GitHub](https://github.com/zimka)): quantum chemistry
 - @Aleksandr Berezutskii ([GitHub](https://github.com/meandmytram)): D-Wave, Barren plateau
+- @evgeniyzh ([GitHub](https://github.com/Randl)): Jordan-Wigner
 
 ### Editors
 

qmlcourseRU/_bibliography/references.bib

@@ -249,19 +249,6 @@ @article{diagonalQNewton
   publisher =    {Springer}
 }
 
-@article{henderson2020quanvolutional,
-  title =        {Quanvolutional neural networks: powering image recognition
-                  with quantum circuits},
-  author =       {Henderson, Maxwell and Shakya, Samriddhi and Pradhan,
-                  Shashindra and Cook, Tristan},
-  journal =      {Quantum Machine Intelligence},
-  volume =       2,
-  number =       1,
-  pages =        {1--9},
-  year =         2020,
-  publisher =    {Springer}
-}
-
 @article{hogradients,
   title =        {Estimating the gradient and higher-order derivatives on
                   quantum hardware},
@@ -444,3 +431,15 @@ @article{vqcaskernels
   primaryClass = {quant-ph},
   year =         2021
 }
+
+@article{seeley2012bravyi,
+  title={The Bravyi-Kitaev transformation for quantum computation of electronic structure},
+  author={Seeley, Jacob T. and Richard, Martin J. and Love, Peter J.},
+  journal={The Journal of chemical physics},
+  volume={137},
+  number={22},
+  pages={224109},
+  year={2012},
+  publisher={American Institute of Physics},
+  url = https://arxiv.org/abs/1208.5986
+}

qmlcourseRU/book/authors.md

@@ -15,14 +15,14 @@
 3. [Сергей Ширкин](https://github.com/SergeiShirkin)
 4. [Александр Березутский](https://github.com/meandmytram)
 5. [Котенков Игорь](https://github.com/stalkermustang)
+6. [Евгений Желтоножский](https://github.com/Randl)
 
 ## Основные ревьюеры
 
 1. [Юрий Кашницкий](https://github.com/Yorko)
 2. [Виктор Трохименко](https://github.com/vtrokhymenko)
 3. [Борис Зимка](https://github.com/zimka)
 4. [Николай Карелин](https://github.com/karelin)
-5. [Евгений Желтоножский](https://github.com/Randl)
 
 ## Редакторы
 

qmlcourseRU/book/problemsblock/jordanwigner.md

@@ -1,13 +1,8 @@
 ---
 jupytext:
-  formats: md:myst
-  text_representation:
-    extension: .md
-    format_name: myst
-kernelspec:
-  display_name: Python 3
-  language: python
-  name: python3
+formats: md:myst text_representation:
+extension: .md format_name: myst kernelspec:
+display_name: Python 3 language: python name: python3
 ---
 
 (quantchembasic)=
@@ -16,23 +11,38 @@ kernelspec:
 
 ## Описание лекции
 
+В этой лекции мы узнаем как из
+
 ## Введение
 
 Для того чтобы просимулировать квантовую систему на квантовом же компьютере, нам необходимо закодировать состояние
-системы и операторы которые могут на нее действовать (добавить fig. 1 из https://arxiv.org/pdf/1208.5986.pdf
-или что-то похожее).
+системы и действующие на нее операторы: найти соответствие между состояниями системы и состояниями нашего компьютера
+(т.е., кубитов)
+
+```{figure} _static/problemsblock/jordanwigner/encoding.png
+:name: A simulation scheme.
+
+Общая схема симуляции квантовой системы на квантовом компьютере (взято из {cite}`seeley2012bravyi`).
+```
 
 ## Спины, фермионы и бозоны
 
+Как мы помним из [лекции по квантовой химии](quantchemadvancedscf), квантовые частицы (в 3+1 измерениях) могут быть либо
+бозонами, либо фермионами. Разница между ними в том, что при обмене двух бозонов волновая функция не меняется, а при
+обмене двух фермионов -- меняет знак. Эта классификация следует из того, что квантовые частицы неотличимы.
+
+Несмотря на то, что наши кубиты состоят из каких-то частиц (бозонов или фермионов), обычно они отличимы
+(например, зафиксированы на своих позициях) и, следовательно, не являются ни бозонами, ни фермионами. Так как мы
+используем два состояния кубита ($ | 0 \rangle $ и $| 1 \rangle$), каждый кубит может быть описан как система со спином
+1/2.
+
 ## Вторичное квантование
 
 В квантовой механике мы [можем описать](../qcblock/gates.html#id11) состояние нескольких частиц как тензорное
 произведение состояний каждой из частиц. Например, если у нас есть две частицы, и их квантовое состояние описывается
 положением частицы в пространстве, $r_i$, мы можем записать состояние частиц как
 
-$$
-| \psi \rangle = | r_1 \rangle \otimes |r_2 \rangle. 
-$$
+$$ | \psi \rangle = | r_1 \rangle \otimes |r_2 \rangle. $$
 
 У этого подхода есть два главных недостатка -- во первых, работать с системами в которых разное количество частиц, или
 где это количество может меняться, не очень удобно. Во-вторых, не учитывается неразличимость квантовых частиц.
@@ -46,13 +56,9 @@ $$
 Мы так же можем определить операторы, которые добавляют или убирают частицу в определенном состоянии из системы. На
 языке первой квантизации:
 
-$$
-b^\dagger_\alpha | \Psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{N+1}} | \psi_\alpha \rangle  \otimes | \Psi \rangle
-$$
+$$ b^\dagger_\alpha | \Psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{N+1}} | \psi_\alpha \rangle \otimes | \Psi \rangle $$
 
-$$
-b_\alpha | \psi_\alpha \rangle  \otimes | \Psi \rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}| \Psi \rangle. 
-$$
+$$ b_\alpha | \psi_\alpha \rangle \otimes | \Psi \rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}| \Psi \rangle. $$
 
 Тут $b^\dagger_\alpha$ называется оператором создания (creation), а $b_\alpha$ -- уничтожения (annihilation). Заметим,
 что эти операторы не эрмитовы, т.е., $b^\dagger_\alpha \neq b_\alpha$. Нормализация операторов выбрана таким образом,
@@ -66,8 +72,7 @@ $$
 
 Если в системе нет ни одной частицы в состоянии $\alpha$, то оператор уничтожения уничтожает состояние:
 
-$$
-b_\alpha | \Psi \rangle=0.  
+$$ b_\alpha | \Psi \rangle=0.  
 $$
 
 0 тут это нулевой вектор, в отличии от $| 0 \rangle$, вакуума. Так как 0 это не физическое состояние (например, если бы
@@ -89,34 +94,29 @@ $$
 $$
 
 $$
-[b^\dagger_i, b^\dagger_j ] = [b_i, b_j ] =0.  
+[b^\dagger_i, b^\dagger_j ] = [b_i, b_j ] = 0.  
 $$
 
 В случае фермионов, операторы антикоммутируют:
 
-$$
-\{с^\dagger_i, с_j \} = \delta_{ij} 
-$$
+$$ \{с^\dagger_i, с_j \} = \delta_{ij} $$
 
-$$
-\{c^\dagger_i, c^\dagger_j \} = \{c_i, c_j \} =0.  
+$$ \{c^\dagger_i, c^\dagger_j \} = \{c_i, c_j \} =0.  
 $$
 
 В частности,
 
-$$
-\{c^\dagger_j, c^\dagger_j \} = 2\left(c^\dagger_j\right)^2 = 0,
-$$
+$$ \{c^\dagger_j, c^\dagger_j \} = 2\left(c^\dagger_j\right)^2 = 0, $$
 
-и, следовательно, в системе не может быть больше одного фермиона в одном состоянии (в соответсвии с принципом запрета
+и, следовательно, в системе не может быть больше одного фермиона в одном состоянии (в соответствии с принципом запрета
 Паули). Из этого так же следует что $c_j^2=0$, так как независимо от состояния системы, после первого оператора в ней не
 останется фермиона который можно было бы уничтожить.
 
 ## Переход от спинов к фермионам
 
 Мы можем попробовать сопоставить спину фермион сказав что спин вниз значит что фермион есть, а спин вверх -- что его
 нет. Другими словами, используя оператор количества частиц $\hat{n}_i = c^\dagger_i c_i$, где $c^\dagger_i$ и $c_i$ это
-операторы создания и разрушения соответсвенно, мы хотели бы сопоставить
+операторы создания и разрушения соответственно, мы хотели бы сопоставить
 
 $$ \hat{\sigma}_i^z = 1 - 2\hat{n}_i $$
 
@@ -131,65 +131,49 @@ $$ \hat{\sigma}_i^z = 1 - 2\hat{n}_i $$
 
 Действительно, на одной вершине эти операторы выполняют фермионное антикоммутационное отношение
 
-$$ 
-\{ \sigma^+_j, \sigma^-_j \} = 1. 
-$$
+$$ \{ \sigma^+_j, \sigma^-_j \} = 1. $$
 
 К сожалению, на разных вершинах эти операторы коммутируют, а не антикоммутируют. Чтобы это исправить, мы "прикрепляем"
 к каждому фермиону "нить" (string):
 
-$$
-\sigma^+_i = \left[ \prod_{j< i} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c_i
-$$
+$$ \sigma^+_i = \left[ \prod_{j< i} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c_i $$
 
-$$
-\sigma^-_i = \left[ \prod_{j< i} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c^\dagger_i
-$$
+$$ \sigma^-_i = \left[ \prod_{j< i} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c^\dagger_i $$
 
 Oператор $\prod_{j_i} (1-2c^\dagger_j c_j)$ равен $\pm 1$ в зависимости от четности количества фермионов слева от
 вершины $i$.
 
 Заметим, что $c_k$ антикоммутирует с $(1-2c^\dagger_k c_k)$:
 
-$$ 
-\{ c_j, (1-2c^\dagger_j c_j) \} = c_j (1-2c^\dagger_j c_j) +  c_j (1-2c^\dagger_j c_j)c_j  =
-c_j  -2\underbrace{c_jc^\dagger_j}_{1-c^\dagger_j c_j} c_j +  c_j -2c^\dagger_j \underbrace{c_jc_j}_{0} = 
-c_j  - 2c_j + 2 c^\dagger_j \underbrace{c_jc_j}_{0} +  c_j  = 0,
-$$
+$$ \{ c_j, (1-2c^\dagger_j c_j) \} = c_j (1-2c^\dagger_j c_j) + c_j (1-2c^\dagger_j c_j)c_j = c_j
+-2\underbrace{c_jc^\dagger_j}_{1-c^\dagger_j c_j} c_j + c_j -2c^\dagger_j \underbrace{c_jc_j}_{0} = c_j - 2c_j + 2
+c^\dagger_j \underbrace{c_jc_j}_{0} + c_j = 0, $$
 
-и, следовательно с нитью $\prod_{j_i} (1-2c^\dagger_j c_j) $ (интуивно, если сначала разрушить фермион, то четность
+и, следовательно, с нитью $\prod_{j_i} (1-2c^\dagger_j c_j) $ (интуитивно, если сначала разрушить фермион, то четность
 изменится).
 
 Пусть, без ограничения общности, $\ell>k$:
 
-$$
-\sigma^+_k \sigma^-_\ell = \left[ \prod_{j<k} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c_k \left[ \prod_{m< \ell} (1-2c^\dagger_m c_m) \right] c^\dagger_\ell 
-$$
+$$ \sigma^+_k \sigma^-_\ell = \left[ \prod_{j<k} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c_k
+\left[ \prod_{m< \ell} (1-2c^\dagger_m c_m) \right] c^\dagger_\ell $$
 
 Если мы перенесем $c_k$ вправо, то выражение умножится на -1 дважды (один раз из-за изменения четности $\ell$-нити, и
 один раз из-за обмена с $c^\dagger_\ell$). В то же время, $i$-нить коммутирует со всем, поэтому ее мы можем перенести
 вправо без изменений:
 
-$$
-\sigma^+_k \sigma^-_\ell 
-= \left[ \prod_{j<k} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c_k \left[ \prod_{m< \ell} (1-2c^\dagger_m c_m) \right] c^\dagger_\ell
-=  \left[ \prod_{m< \ell} (1-2c^\dagger_m c_m) \right] c^\dagger_\ell \left[ \prod_{j<k} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c_k
-= \sigma^-_\ell  \sigma^+_k, 
-$$
+$$ \sigma^+_k \sigma^-_\ell = \left[ \prod_{j<k} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c_k
+\left[ \prod_{m< \ell} (1-2c^\dagger_m c_m) \right] c^\dagger_\ell = \left[ \prod_{m< \ell} (1-2c^\dagger_m c_m) \right]
+c^\dagger_\ell \left[ \prod_{j<k} (1-2c^\dagger_j c_j) \right] c_k = \sigma^-_\ell \sigma^+_k, $$
 
 как и требовалось. Мы так же можем записать обратное отношение:
 
-$$
-c_i = \prod_{j< i} \sigma^z_j  \sigma^+_i
-$$
+$$ c_i = \prod_{j< i} \sigma^z_j \sigma^+_i $$
 
-$$
-c^\dagger_i = \prod_{j< i} \sigma^z_j  \sigma^+_i.
-$$
-Проверка антикоммутаторов оставляется читателю в качестве упражнения.
+$$ c^\dagger_i = \prod_{j< i} \sigma^z_j \sigma^+_i. $$ Проверка антикоммутаторов оставляется читателю в качестве
+упражнения.
 
-Таким образом мы установили соответсвие между фермионной и спиновой системами, но операторы в обоих случаях очень
-нелокальны. В частности, один фермионный оператор соответветсвует произведению $\mathcal{O}(N)$ спиновых операторов (и
+Таким образом мы установили соответствие между фермионной и спиновой системами, но операторы в обоих случаях очень
+нелокальны. В частности, один фермионный оператор соответствует произведению $\mathcal{O}(N)$ спиновых операторов (и
 наоборот).
 
 ### Пример