This repository has been archived by the owner on Sep 4, 2019. It is now read-only.
-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathoppgaver.html
767 lines (662 loc) · 30.6 KB
/
oppgaver.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="no" xml:lang="no">
<head>
<!-- 2019-04-10 Wed 14:45 -->
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<title>Oppgavesamling i R1</title>
<meta name="generator" content="Org mode" />
<meta name="author" content="Tarjei Bærland" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="css/stylesheet.css">
<link href='https://fonts.googleapis.com/css?family=Open Sans' rel='stylesheet'>
<link href='https://fonts.googleapis.com/css?family=Source Code Pro' rel='stylesheet'>
<script type="text/javascript" src="js/popup.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../org-info-js-nb/org-info.js">
/**
*
* @source: ../org-info-js-nb/org-info.js
*
* @licstart The following is the entire license notice for the
* JavaScript code in ../org-info-js-nb/org-info.js.
*
* Copyright (C) 2012-2018 Free Software Foundation, Inc.
*
*
* The JavaScript code in this tag is free software: you can
* redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU
* General Public License (GNU GPL) as published by the Free Software
* Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
* any later version. The code is distributed WITHOUT ANY WARRANTY;
* without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS
* FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU GPL for more details.
*
* As additional permission under GNU GPL version 3 section 7, you
* may distribute non-source (e.g., minimized or compacted) forms of
* that code without the copy of the GNU GPL normally required by
* section 4, provided you include this license notice and a URL
* through which recipients can access the Corresponding Source.
*
* @licend The above is the entire license notice
* for the JavaScript code in ../org-info-js-nb/org-info.js.
*
*/
</script>
<script type="text/javascript">
/*
@licstart The following is the entire license notice for the
JavaScript code in this tag.
Copyright (C) 2012-2018 Free Software Foundation, Inc.
The JavaScript code in this tag is free software: you can
redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU
General Public License (GNU GPL) as published by the Free Software
Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
any later version. The code is distributed WITHOUT ANY WARRANTY;
without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS
FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU GPL for more details.
As additional permission under GNU GPL version 3 section 7, you
may distribute non-source (e.g., minimized or compacted) forms of
that code without the copy of the GNU GPL normally required by
section 4, provided you include this license notice and a URL
through which recipients can access the Corresponding Source.
@licend The above is the entire license notice
for the JavaScript code in this tag.
*/
<!--/*--><![CDATA[/*><!--*/
org_html_manager.set("TOC_DEPTH", "2");
org_html_manager.set("LINK_HOME", "");
org_html_manager.set("LINK_UP", "");
org_html_manager.set("LOCAL_TOC", "0");
org_html_manager.set("VIEW_BUTTONS", "0");
org_html_manager.set("MOUSE_HINT", "underline");
org_html_manager.set("FIXED_TOC", "0");
org_html_manager.set("TOC", "1");
org_html_manager.set("VIEW", "info");
org_html_manager.setup(); // activate after the parameters are set
/*]]>*///-->
</script>
<script type="text/javascript">
/*
@licstart The following is the entire license notice for the
JavaScript code in this tag.
Copyright (C) 2012-2018 Free Software Foundation, Inc.
The JavaScript code in this tag is free software: you can
redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU
General Public License (GNU GPL) as published by the Free Software
Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
any later version. The code is distributed WITHOUT ANY WARRANTY;
without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS
FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU GPL for more details.
As additional permission under GNU GPL version 3 section 7, you
may distribute non-source (e.g., minimized or compacted) forms of
that code without the copy of the GNU GPL normally required by
section 4, provided you include this license notice and a URL
through which recipients can access the Corresponding Source.
@licend The above is the entire license notice
for the JavaScript code in this tag.
*/
<!--/*--><![CDATA[/*><!--*/
function CodeHighlightOn(elem, id)
{
var target = document.getElementById(id);
if(null != target) {
elem.cacheClassElem = elem.className;
elem.cacheClassTarget = target.className;
target.className = "code-highlighted";
elem.className = "code-highlighted";
}
}
function CodeHighlightOff(elem, id)
{
var target = document.getElementById(id);
if(elem.cacheClassElem)
elem.className = elem.cacheClassElem;
if(elem.cacheClassTarget)
target.className = elem.cacheClassTarget;
}
/*]]>*///-->
</script>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
displayAlign: "center",
displayIndent: "0em",
"HTML-CSS": { scale: 100,
linebreaks: { automatic: "false" },
webFont: "TeX"
},
SVG: {scale: 100,
linebreaks: { automatic: "false" },
font: "TeX"},
NativeMML: {scale: 100},
TeX: { equationNumbers: {autoNumber: "AMS"},
MultLineWidth: "85%",
TagSide: "right",
TagIndent: ".8em"
}
});
</script>
<script type="text/javascript"
src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML"></script>
</head>
<body>
<div id="content">
<h1 class="title">Oppgavesamling i R1</h1>
<div id="table-of-contents">
<h2>Innhold</h2>
<div id="text-table-of-contents">
<ul>
<li><a href="#sannsynlighetsregning">Sannsynlighetsregning</a>
<ul>
<li><a href="#sanns-regnvaersdagene">Regnværsdagene</a></li>
<li><a href="#luremynten">Luremynten   <span class="tag"><span class="bayes">bayes</span></span></a></li>
<li><a href="#sanns-detoterningene">De to terningene   <span class="tag"><span class="betinget">betinget</span> <span class="utfordring">utfordring</span> <span class="l_sning">løsning</span></span></a></li>
<li><a href="#sannsynlighet-zombietesten">Zombietesten   <span class="tag"><span class="bayes">bayes</span> <span class="utfordring">utfordring</span> <span class="l_sning">løsning</span></span></a></li>
<li><a href="#sannsynlighet-laderne">Laderne   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="v18">v18</span> <span class="del1">del1</span> <span class="l_sning">løsning</span></span></a></li>
<li><a href="#sannsynlighet-flyselskapet">Flyselskapet   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="v18">v18</span> <span class="del2">del2</span></span></a></li>
<li><a href="#sannsynlighet-noekkelboksene">Nøkkelboksene   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h17">h17</span> <span class="del1">del1</span></span></a></li>
<li><a href="#sannsynlighet-spillelista">Spillelista   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h17">h17</span> <span class="del2">del2</span></span></a></li>
<li><a href="#sannsynlighet-noeklene">Nøklene   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h16">h16</span> <span class="del1">del1</span></span></a></li>
<li><a href="#sannsynlighet-lottospillet">Lottospillet   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h16">h16</span> <span class="del2">del2</span></span></a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#algebra">Algebra</a>
<ul>
<li><a href="#forenkling">Forenkling   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="v18">v18</span> <span class="del1">del1</span></span></a></li>
<li><a href="#divisjonsomgaaropp">Divisjon som går opp   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="v18">v18</span> <span class="del1">del1</span></span></a></li>
<li><a href="#orge94fd23">Likninger   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h16">h16</span> <span class="del1">del1</span></span></a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org27220cd">CAS</a>
<ul>
<li><a href="#orgaecdda1">Vektor-punktene   <span class="tag"><span class="v16">v16</span> <span class="del2">del2</span></span></a></li>
<li><a href="#org78ccff9">Logaritmefunksjon</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgc0cbe26" class="outline-2">
<h2 id="sannsynlighetsregning"><a id="orgc0cbe26"></a>Sannsynlighetsregning</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-sannsynlighetsregning">
</div>
<div id="outline-container-orgec39b54" class="outline-3">
<h3 id="sanns-regnvaersdagene"><a id="orgec39b54"></a>Regnværsdagene</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sanns-regnvaersdagene">
<div class="NOTES">
<p>
Inspirert av «Logic – A very short introduction» av Graham Pries, Oxford University Press, 2000
</p>
</div>
<p>
Turid fører statistikk over været. Hun har definert seg hendelesene \(V\) for «været var varmt» og \(R\) for «det regnet». «✓» betyr «hendelsen inntraff den dagen». En gitt uke har hun fått følgende oversikt:
</p>
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<thead>
<tr>
<th scope="col" class="org-left"> </th>
<th scope="col" class="org-left">man</th>
<th scope="col" class="org-left">tirs</th>
<th scope="col" class="org-left">ons</th>
<th scope="col" class="org-left">tors</th>
<th scope="col" class="org-left">fre</th>
<th scope="col" class="org-left">lør</th>
<th scope="col" class="org-left">søn</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left">\(V\)</td>
<td class="org-left"> </td>
<td class="org-left"> </td>
<td class="org-left">✓</td>
<td class="org-left">✓</td>
<td class="org-left"> </td>
<td class="org-left">✓</td>
<td class="org-left">✓</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">\(R\)</td>
<td class="org-left"> </td>
<td class="org-left">✓</td>
<td class="org-left">✓</td>
<td class="org-left"> </td>
<td class="org-left"> </td>
<td class="org-left">✓</td>
<td class="org-left"> </td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>
Ved å bruke tabellen over, hva er…
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>\(P(V)\)?</dd>
<dt>b</dt><dd>\(P(R)\)?</dd>
<dt>c</dt><dd>\(P(V∩R)\)?</dd>
<dt>d</dt><dd>\(P(V∪R)\)?</dd>
<dt>e</dt><dd>\(P(V|R)\)?</dd>
<dt>f</dt><dd>\(P(R|V)\)?</dd>
</dl>
<p>
…og, til slutt…
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>g</dt><dd>bruk Bayes' setning til å kontrollere <b>f</b> ved hjelp av svarene du fikk i <b>a</b> til <b>e</b>.</dd>
</dl>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgcd2e103" class="outline-3">
<h3 id="luremynten"><a id="orgcd2e103"></a>Luremynten   <span class="tag"><span class="bayes">bayes</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-luremynten">
<p>
I en sekk med ti mynter, er en av myntene slik at den har <i>mynt</i> på begge sider, dette er luremynten. De øvrige er «vanlige» og har dermed en side <i>mynt</i> og en side <i>kron</i>.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Vi trekker en mynt og kaster den, det blir <i>mynt</i>. Hva er sannsynligheten for at vi trakk luremynten?</dd>
<dt>b</dt><dd>Vi trekker atter en mynt (mynten fra forrige oppgave er lagt tilbake). Med denne kaster vi <i>mynt</i> to ganger på rad. Hva er nå sannsynligheten for at vi trakk luremynten?</dd>
</dl>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgfe12892" class="outline-3">
<h3 id="sanns-detoterningene"><a id="orgfe12892"></a>De to terningene   <span class="tag"><span class="betinget">betinget</span> <span class="utfordring">utfordring</span> <span class="l_sning">løsning</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sanns-detoterningene">
<p>
Jeg kaster to terninger og holder dem skjult for deg. Jeg ser på resultatet og sier til deg «minst en av dem blei en sekser».
</p>
<p>
Hva er sannsynligheten for at begge blei seksere?
</p>
<label for="toggle-1">Vis løsning: </label>
<input type="checkbox" id="toggle-1">
<div class="LOESNING">
<p>
Vi kan definere følgende to hendelser:
</p>
<ul class="org-ul">
<li>\(T_1\) – sekser på terning én</li>
<li>\(T_2\) – sekser på terning to</li>
</ul>
<p>
Vi ønsker altså å finne \(P(T_1 \cap T_2 | T_1 \cup t_2)\). Dette virker kanskje svært innviklet, men la oss stille opp mulighetene i en tabell.
</p>
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-right" />
<col class="org-right" />
<col class="org-right" />
<col class="org-right" />
<col class="org-right" />
<col class="org-right" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-right">T<sub>2</sub> \ T<sub>1</sub></td>
<td class="org-right">1</td>
<td class="org-right">2</td>
<td class="org-right">3</td>
<td class="org-right">4</td>
<td class="org-right">5</td>
<td class="org-left">6</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">1</td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-left"><code>O</code></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2</td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-left"><code>O</code></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">3</td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-left"><code>O</code></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">4</td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-left"><code>O</code></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">5</td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-left"><code>O</code></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">6</td>
<td class="org-right"><code>O</code></td>
<td class="org-right"><code>O</code></td>
<td class="org-right"><code>O</code></td>
<td class="org-right"><code>O</code></td>
<td class="org-right"><code>O</code></td>
<td class="org-left"><code>X</code></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>
Vi veit altså at vi er i en av rutene med <code>O</code> eller <code>X</code> (siden det er her det er minst én sekser), og vi lurer på sannsynligheten for at vi da er i ruta med <code>X</code> (siden det er her det er to seksere).
</p>
<p>
Siden det er 11 ruter med <code>O</code> eller <code>X</code>, og én rute med <code>X</code>, er sannsynligheten gitt som
\[P(T_1 \cap T_2 | T_1 \cup t_2) = \frac{1}{11}\]
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orga5f060b" class="outline-3">
<h3 id="sannsynlighet-zombietesten"><a id="orga5f060b"></a>Zombietesten   <span class="tag"><span class="bayes">bayes</span> <span class="utfordring">utfordring</span> <span class="l_sning">løsning</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sannsynlighet-zombietesten">
<p>
Du bor i et land med ca. 5 millioner innbyggere. I dette landet har det brutt ut en liten zombieepidemi. Zombieviruset har en inkubasjonstid på omtrent et år, så du kan være bærer av det, uten å vise zombietrekk (f.eks. ingen selvbevissthet, trang til å maltraktere de rundt deg, mangelfull personlig hygiene). Det er anslått at det i dag er 250 personer som er rammet av viruset. Du tar en test som er 99 % sikker.
</p>
<p>
<img src="figurer/zombietesten.png" alt="zombietesten.png"/>
</p>
<p>
Resultatene er klare, testen var <b>positiv</b>.
</p>
<p>
Hva er sannsynligheten for at du har viruset?
</p>
<label for="toggle-1">Vis løsning: </label>
<input type="checkbox" id="toggle-1">
<div class="LOESNING">
<p>
Vi definerer følgende hendelser:
</p>
<ul class="org-ul">
<li>\(Z\) – smittet av zombieviruset</li>
<li>\(P\) – testen er positiv</li>
</ul>
<p>
En test som er 99 % sikker vil vise feil 1 % av gangen, om vi da tester hele landet, vil omtrent 1 % av 5 millioner få positivt svar, altså 50 000 personer. Sannsynligheten for at du er en av 250 personene som faktisk er smittet, er da \[P(Z|P)=250/50000=0.005\] Sannsynligheten for at du har viruset er med andre ord omtrent 0.5 %.
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org44701c6" class="outline-3">
<h3 id="sannsynlighet-laderne"><a id="org44701c6"></a>Laderne   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="v18">v18</span> <span class="del1">del1</span> <span class="l_sning">løsning</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sannsynlighet-laderne">
<p>
En butikk kjøper samme type ladere fra to leverandører. Av disse kommer
</p>
<ul class="org-ul">
<li>40 % fra leverandør A</li>
<li>60 % fra leverandør B</li>
</ul>
<p>
Det viser seg at
</p>
<ul class="org-ul">
<li>3 % av laderne fra A er defekte</li>
<li>2 % av laderne fra B er defekte</li>
</ul>
<p>
Vi tenker oss at vi velger ut en lader tilfeldig.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Bestem sannsynligheten for at laderen kommer fra leverandør A og er defekt.</dd>
<dt>b</dt><dd>Bestem sannsynligheten for at en lader som er defekt, kommer fra leverandør A.</dd>
</dl>
<label for="toggle-1">Vis løsning: </label>
<input type="checkbox" id="toggle-1">
<div class="LOESNING">
<p>
Vi kan sortere informasjonen fra oppgava som følger:
</p>
<ul class="org-ul">
<li>\(P(A)=0.40\)</li>
<li>\(P(B)=P(\bar{A})=0.60\)</li>
<li>\(P(D|A)=0.03\) – hvor vi har laget hendelsen \(D\) for at en gjenstand er defekt</li>
<li>\(P(D|\bar{A})=0.02\)</li>
<li id="a">Her er vi ute etter \(P(A\cap D)\). Siden vi kjenner \(P(A)\) og \(P(D|A)\), kan vi løse denne oppgaven som \[P(A\cap D)=P(A)\cdot P(D|A)=0.40\cdot 0.03=0.012\] Sannsynligheten for at en lader kommer fra A og er defekt er altså 1,2 %.</li>
<li id="b">Vi veit her at en lader er defekt, og vi ønsker å finne sannsynligheten for at den er fra A, altså er vi ute etter \(P(A|D)\). Vi kan finne denne ved å bruke Bayes' setning, som \[P(A|D)=\frac{P(A)\cdot P(D|A)}{P(D)},\] hvor det eneste vi mangler for å kunne løse oppgaven er \(P(D)\). Denne kan vi finne ved å bruke total sannsynlighet, og vi får \[P(D)=P(D|A)\cdot P(A) + P(D|\bar{A})\cdot P(\bar{A}),\] hvor vi bruker at \(\bar{A}\) er det sammme som \(B\), siden \(A\) og \(B\) sammen utgjør hele hendelsesrommet. Satt inn får vi da \[P(D)=0.03\cdot 0.40 + 0.02\cdot 0.60=0.024\]Vi kan da løse for \(P(A|D)\) som \[P(A|D)=\frac{0.40\cdot 0.03}{0.024}=0.50\]Altså er det 50 % sannsynlig at en tilfeldig defekt lader kommer fra A, til tross for at B leverer flere ladere.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgd13dfab" class="outline-3">
<h3 id="sannsynlighet-flyselskapet"><a id="orgd13dfab"></a>Flyselskapet   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="v18">v18</span> <span class="del2">del2</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sannsynlighet-flyselskapet">
<p>
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang er 6 %.
</p>
<p>
Vi lar <i>X</i> være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?</dd>
</dl>
<p>
I resten av oppgaven går vi ut fra at <i>X</i> er binomisk fordelt.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>b</dt><dd>Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.</dd>
</dl>
<p>
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>c</dt><dd>Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?</dd>
</dl>
<label for="toggle-1">Vis løsning: </label>
<input type="checkbox" id="toggle-1">
<div class="LOESNING">
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>For at vi skal kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell alle delforsøkene (her, hvorvidt en person møter opp til flyet eller ei) være uavhengige av hverandre. Dette virker som en antagelse det er lett å ha motforestillinger til (som i at hvis en i familien ikke kommer, kommer ikke de andre heller), men det har neppe mye å si for konklusjonene i denne oppgaven.</dd>
<dt>b</dt><dd>Til denne oppgaven kan vi bruke sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra. Det mest naturlige blir å definere \(n\) som antall solgte billetter, her 122, og \(p\) som sannsynligheten for at en enkeltperson møter opp, her 94 %. Alle får plass på flyet dersom 116 eller færre personer møter opp, vi skal altså finne \(P(X\leq 116)\). Vi ser fra sannsynlighetskalkulatorutklippet under at det 75 % sannsynlig at alle som møter får plass på flyet.</dd>
</dl>
<p>
<img src="figurer/oppgaver_20180913_214648.png" alt="oppgaver_20180913_214648.png"/>
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>c</dt><dd>Dersom flyselskapet ønsker at det skal være minst 95 % sannsynlig at alle som møter får plass på flyet, må de altså selge et antall mellom 116 (alle får garantert plass) og 122 (75 % sannsynlig at alle får plass) billetter. Ved å endre \(n\) i sannsynlighetskalkulatoren, finner vi at ved 119 solgte billetter, er det 98 % sannsynlig at alle som møter opp får plass, mens det ved 120 solgte billetter er 93 % sannsynlig at alle som møter opp får plass. Dersom de ønsker at det skal være minst 95 % sannsynlig at alle som møter opp får plass, kan de med andre ord ikke selge flere enn 119 billetter.</dd>
</dl>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9b93be2" class="outline-3">
<h3 id="sannsynlighet-noekkelboksene"><a id="org9b93be2"></a>Nøkkelboksene   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h17">h17</span> <span class="del1">del1</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sannsynlighet-noekkelboksene">
<p>
En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås.
</p>
<p>
For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tal. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt i en bestemt rekkefølge.
</p>
<p>
<img src="figurer/h17_d1_5a.png" alt="h17_d1_5a.png"/>
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks?</dd>
</dl>
<p>
For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å belge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge.
</p>
<p>
<img src="figurer/h17_d1_5b.png" alt="h17_d1_5b.png"/>
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>b</dt><dd>Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall?</dd>
<dt>c</dt><dd>Hvor mange tall må koden bestå av for at antallet mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da?</dd>
</dl>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgfe9fdce" class="outline-3">
<h3 id="sannsynlighet-spillelista"><a id="orgfe9fdce"></a>Spillelista   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h17">h17</span> <span class="del2">del2</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sannsynlighet-spillelista">
<p>
Jakob har en spilleliste med 20 sanger på mobilen sin. Fire av sangene på spillelisten er med artisten Kygo. Programmet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt av flere ganger etter hverandre.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Forklar at sannsynligheten alltid er \(p = 0,2\) for at neste sang som blir spilt, er med Kygo.</dd>
<dt>b</dt><dd>Jakob vil høre på fem avspillinger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av sangene han spiller, er med Kygo.</dd>
<dt>c</dt><dd>Hvor mange avspillinger må han høre på for at sannsynligheten for å høre minst én sang med Kygo skal være større enn 90 %?</dd>
</dl>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgc37e268" class="outline-3">
<h3 id="sannsynlighet-noeklene"><a id="orgc37e268"></a>Nøklene   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h16">h16</span> <span class="del1">del1</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sannsynlighet-noeklene">
<p>
I en fabrikk er det to maskiner, maskin A og maskin B, som produserer samme type nøkler.
</p>
<ul class="org-ul">
<li>4 % av nøklene fra maskin A er defekte.</li>
<li>1 % av nøklene fra maskin B er defekte.</li>
<li>Maskin B produserer dobbelt så mange nøkler som maskin A.</li>
</ul>
<p>
En nøkkel blir valgt tilfeldig fra lageret.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Bestem sannsynligheten for at nøkkelen er defekt.</dd>
</dl>
<p>
Det viser seg at den valgte nøkkelen er defekt.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>b</dt><dd>Bestem sannsynligheten for at nøkkelen ble produsert av maskin A.</dd>
</dl>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgd6f3a44" class="outline-3">
<h3 id="sannsynlighet-lottospillet"><a id="orgd6f3a44"></a>Lottospillet   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h16">h16</span> <span class="del2">del2</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-sannsynlighet-lottospillet">
<p>
I pengespillet Lotto legges 34 kuler i en beholder. Hver kule er nummerert med ett av tallene fra 1 til 34. Sju kuler trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Tallene på de sju kulene er vinnertallene.
</p>
<p>
Når du spiller Lotto, krysser du av sju av tallene fra 1 til 34 på en kupong.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Hvor mange måter kan du velge ut sju av de 34 tallene?</dd>
</dl>
<p>
Tore har levert inn en lottokupong der han har krysset av tallene.
\[3, 5, 11, 18, 21, 25, 32\]
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>b</dt><dd>Bestem sannsynligheten for at Tore får nøyaktig 5 rette.</dd>
</dl>
<p>
Tore ser lottotrekningen på TV. etter at det er trukket ut fire tall, går strømmen, og TV-en går i svart. Tallene som til da er trukket ut, er 5, 21, 3, og 11.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>c</dt><dd>Bestem sannsynligheten for at Tore får sju rette på lottokupongen sin.</dd>
</dl>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org364a329" class="outline-2">
<h2 id="algebra"><a id="org364a329"></a>Algebra</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-algebra">
</div>
<div id="outline-container-org32eae63" class="outline-3">
<h3 id="forenkling"><a id="org32eae63"></a>Forenkling   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="v18">v18</span> <span class="del1">del1</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-forenkling">
<p>
Skriv så enkelt som mulig \[\frac{1}{2x-2} + \frac{2}{x-3} - \frac{x-2}{x^2 - 4x + 3}\]
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org3ca90e5" class="outline-3">
<h3 id="divisjonsomgaaropp"><a id="org3ca90e5"></a>Divisjon som går opp   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="v18">v18</span> <span class="del1">del1</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-divisjonsomgaaropp">
<p>
Funksjonen \(f\) er gitt ved \[f(x) = x^3 + k\cdot x + 12\]
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Bestem \(k\) slik at divisjonen \(f(x):(x-1)\) går opp.</dd>
<dt>b</dt><dd>Sett inn verdien for \(k\) fra oppgave a), og bruk blant annet polynomdivisjon til skrive \(f(x)\) som et produkt av lineære faktorer.</dd>
<dt>c</dt><dd>Løs ulikheten \[\frac{x^2 - x - 12}{x - 1} > 0\]</dd>
</dl>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge94fd23" class="outline-3">
<h3 id="orge94fd23">Likninger   <span class="tag"><span class="eksamen">eksamen</span> <span class="h16">h16</span> <span class="del1">del1</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orge94fd23">
<p>
Løs likningene
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>\(2^{3x-2}-13=13\)</dd>
<dt>b</dt><dd>\((\lg x)^2 + \lg x - 2 = 0\)</dd>
</dl>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org27220cd" class="outline-2">
<h2 id="org27220cd">CAS</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org27220cd">
</div>
<div id="outline-container-orgaecdda1" class="outline-3">
<h3 id="orgaecdda1">Vektor-punktene   <span class="tag"><span class="v16">v16</span> <span class="del2">del2</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgaecdda1">
<p>
Gitt tre punkt \(A(1,3)\), \(B(4,0)\), og \(C(5,5)\).
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Bestem en parameterframstilling av linja \(l\) gjennom \(B\) og \(C\).</dd>
<dt>b</dt><dd>Et punkt \(P\) ligger på linja \(l\). Forklar at vi kan skrive \(\vec{AP} ) \left[3 + t, -3 + 5t\right]\) for en \(t\in \mathbb{R}\).</dd>
<dt>c</dt><dd>Bruk blant annet skalarproduktet til å finne koordinatene til \(P\) slik at \(\vec{AB} \perp \vec{AP}\).</dd>
<dt>d</dt><dd>Bruk CAS til å bestemme hvilke koordinater \(P\) kan ha når \(\angle BAP = 45^\circ\).</dd>
</dl>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org78ccff9" class="outline-3">
<h3 id="org78ccff9">Logaritmefunksjon</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org78ccff9">
<p>
Funksjonen \(f\) er gitt ved \[f(x) = 2 \ln (x^2 - 4) - \frac{1}{2} x\]
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Bruk graftegner til å tegne grafen til \(f\) når \(x \in \langle -4, 16 \rangle\).</dd>
<dt>b</dt><dd>Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).</dd>
</dl>
<p>
Funksjonen \(g\) er gitt ved \[g(x) = 2\ln (x^2 + k) - \frac{1}{2}x,\quad k>0.\]
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>c</dt><dd>Bruk CAS til å bestemme \(k\) slik at \(g\) har et ekstremalpunkt i \(x-1\).</dd>
<dt>d</dt><dd>Bruk blant annet CAS til å bestemme hvor mange ekstremalpunkt \(g\) har for ulike verdier av \(k\).</dd>
</dl>
</div>
</div>
</div>
</div>
</body>
</html>