This repository has been archived by the owner on Sep 4, 2019. It is now read-only.
-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathoekter.html
2609 lines (2242 loc) · 83.3 KB
/
oekter.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="no" xml:lang="no">
<head>
<!-- 2019-05-02 Thu 12:18 -->
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<title>Matemamtikk R1 - økter 2018-19</title>
<meta name="generator" content="Org mode" />
<meta name="author" content="Tarjei Bærland" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="css/oekter.css">
<link href='https://fonts.googleapis.com/css?family=Open Sans' rel='stylesheet'>
<link href='https://fonts.googleapis.com/css?family=Source Code Pro' rel='stylesheet'>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script>
<script type="text/javascript" src="js/org-info-js-nb/org-info-src.js">
/**
*
* @source: js/org-info-js-nb/org-info-src.js
*
* @licstart The following is the entire license notice for the
* JavaScript code in js/org-info-js-nb/org-info-src.js.
*
* Copyright (C) 2012-2018 Free Software Foundation, Inc.
*
*
* The JavaScript code in this tag is free software: you can
* redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU
* General Public License (GNU GPL) as published by the Free Software
* Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
* any later version. The code is distributed WITHOUT ANY WARRANTY;
* without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS
* FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU GPL for more details.
*
* As additional permission under GNU GPL version 3 section 7, you
* may distribute non-source (e.g., minimized or compacted) forms of
* that code without the copy of the GNU GPL normally required by
* section 4, provided you include this license notice and a URL
* through which recipients can access the Corresponding Source.
*
* @licend The above is the entire license notice
* for the JavaScript code in js/org-info-js-nb/org-info-src.js.
*
*/
</script>
<script type="text/javascript">
/*
@licstart The following is the entire license notice for the
JavaScript code in this tag.
Copyright (C) 2012-2018 Free Software Foundation, Inc.
The JavaScript code in this tag is free software: you can
redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU
General Public License (GNU GPL) as published by the Free Software
Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
any later version. The code is distributed WITHOUT ANY WARRANTY;
without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS
FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU GPL for more details.
As additional permission under GNU GPL version 3 section 7, you
may distribute non-source (e.g., minimized or compacted) forms of
that code without the copy of the GNU GPL normally required by
section 4, provided you include this license notice and a URL
through which recipients can access the Corresponding Source.
@licend The above is the entire license notice
for the JavaScript code in this tag.
*/
<!--/*--><![CDATA[/*><!--*/
org_html_manager.set("TOC_DEPTH", "1");
org_html_manager.set("LINK_HOME", "");
org_html_manager.set("LINK_UP", "");
org_html_manager.set("LOCAL_TOC", "0");
org_html_manager.set("VIEW_BUTTONS", "0");
org_html_manager.set("MOUSE_HINT", "underline");
org_html_manager.set("FIXED_TOC", "0");
org_html_manager.set("TOC", "1");
org_html_manager.set("VIEW", "info");
org_html_manager.setup(); // activate after the parameters are set
/*]]>*///-->
</script>
<script type="text/javascript">
/*
@licstart The following is the entire license notice for the
JavaScript code in this tag.
Copyright (C) 2012-2018 Free Software Foundation, Inc.
The JavaScript code in this tag is free software: you can
redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU
General Public License (GNU GPL) as published by the Free Software
Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
any later version. The code is distributed WITHOUT ANY WARRANTY;
without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS
FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU GPL for more details.
As additional permission under GNU GPL version 3 section 7, you
may distribute non-source (e.g., minimized or compacted) forms of
that code without the copy of the GNU GPL normally required by
section 4, provided you include this license notice and a URL
through which recipients can access the Corresponding Source.
@licend The above is the entire license notice
for the JavaScript code in this tag.
*/
<!--/*--><![CDATA[/*><!--*/
function CodeHighlightOn(elem, id)
{
var target = document.getElementById(id);
if(null != target) {
elem.cacheClassElem = elem.className;
elem.cacheClassTarget = target.className;
target.className = "code-highlighted";
elem.className = "code-highlighted";
}
}
function CodeHighlightOff(elem, id)
{
var target = document.getElementById(id);
if(elem.cacheClassElem)
elem.className = elem.cacheClassElem;
if(elem.cacheClassTarget)
target.className = elem.cacheClassTarget;
}
/*]]>*///-->
</script>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
displayAlign: "center",
displayIndent: "0em",
"HTML-CSS": { scale: 100,
linebreaks: { automatic: "false" },
webFont: "TeX"
},
SVG: {scale: 100,
linebreaks: { automatic: "false" },
font: "TeX"},
NativeMML: {scale: 100},
TeX: { equationNumbers: {autoNumber: "AMS"},
MultLineWidth: "85%",
TagSide: "right",
TagIndent: ".8em"
}
});
</script>
<script type="text/javascript"
src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML"></script>
</head>
<body>
<div id="content">
<h1 class="title">Matemamtikk R1 - økter 2018-19</h1>
<div id="table-of-contents">
<h2>Innhold</h2>
<div id="text-table-of-contents">
<ul>
<li><a href="#orgf431ad6">uke 18</a></li>
<li><a href="#orga580b87">uke 17</a></li>
<li><a href="#org49b2ef6">uke 15</a></li>
<li><a href="#org6874285">uke 13</a></li>
<li><a href="#orgf3a519f">uke 11</a></li>
<li><a href="#org0ca806c">uke 9</a></li>
<li><a href="#org0b27665">uke 7</a></li>
<li><a href="#org58a25ca">uke 6</a></li>
<li><a href="#org1a4811b">uke 5</a></li>
<li><a href="#orgd6d5bcb">uke 4</a></li>
<li><a href="#orged5924d">uke 3</a></li>
<li><a href="#orgccd7952">uke 2</a></li>
<li><a href="#org79c84cd">uke 1</a></li>
<li><a href="#orgacdc7df">uke 50</a></li>
<li><a href="#org0278aa1">uke 49</a></li>
<li><a href="#org197aea8">uke 48</a></li>
<li><a href="#org39851b1">uke 45</a></li>
<li><a href="#org8146048">uke 43</a></li>
<li><a href="#org13712cc">uke 42</a></li>
<li><a href="#orgafe868a">uke 41</a></li>
<li><a href="#org20465bc">uke 39</a></li>
<li><a href="#org6535fa5">uke 38</a></li>
<li><a href="#org2c2afd0">uke 37</a></li>
<li><a href="#org979e0b3">uke 36</a></li>
<li><a href="#orgb4a0726">uke 35</a></li>
<li><a href="#org7419fb5">uke 34</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgf431ad6" class="outline-2">
<h2 id="orgf431ad6">uke 18</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgf431ad6">
<p>
Vi er nå i uke 18, i uke 18 og 19 kan dere velge mellom følgende to opplegg: (Dere kan ikke mixe og matche.)
</p>
</div>
<div id="outline-container-org8b1047e" class="outline-3">
<h3 id="org8b1047e">Frivillig programmeringsopplegg</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org8b1047e">
<p>
<b>Møt opp i timene.</b>
Vi jobber videre med programmeringa vi startet med på mandag, vi kommer til å jobbe med <code>if</code>-setninger, <code>while</code>-løkker og funksjoner.
</p>
<p>
Bli med på dette om du syntes mandagen var interessant eller har valgt programmmeringsfaget til nesteår.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbbe5e57" class="outline-3">
<h3 id="orgbbe5e57">Alternativ oppgavejobbing</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbbe5e57">
<p>
Jeg legger ut oppgaver dere skal levere på It's Learning. Disse leveres i løpet av dagen det gjelder, og brukes som fraværsføring.
</p>
<p>
Om dere velger oppgavejobbealternativet, er det altså <i>ikke</i> behov for å møte i timen.
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orga580b87" class="outline-2">
<h2 id="orga580b87">uke 17</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orga580b87">
</div>
<div id="outline-container-orgc19f2d4" class="outline-3">
<h3 id="orgc19f2d4">Siste forberedelser</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgc19f2d4">
<ul class="org-ul">
<li>Heldagsprøve våren 2017: <a href="pdf/r1_heldags_v17.pdf">r1_heldags_v17.pdf</a> (Løsningsforslag: <a href="pdf/r1_heldags_v17_LF_del1.pdf">del 1</a>, <a href="pdf/r1_heldags_v17_LF_del2.pdf">del 2</a>)</li>
<li>Tillegg til Del 1 - 7 c: For at en funksjon skal være deriverbar i et punkt, må også funksjonen være <i>kontinuerlig</i> i punktet.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org49b2ef6" class="outline-2">
<h2 id="org49b2ef6">uke 15</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org49b2ef6">
</div>
<div id="outline-container-org10d2fd9" class="outline-3">
<h3 id="org10d2fd9">Dots and boxes</h3>
</div>
<div id="outline-container-orge7cb098" class="outline-3">
<h3 id="orge7cb098">Forberedelse</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orge7cb098">
<ul class="org-ul">
<li><a href="pdf/r1_heldags_v18.pdf">r1_heldags_v18.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_18v.pdf">r1_eksamen_18v.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_18h.pdf">r1_eksamen_18h.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_17v.pdf">r1_eksamen_17v.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_17h.pdf">r1_eksamen_17h.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_16v.pdf">r1_eksamen_16v.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_16h.pdf">r1_eksamen_16h.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_15v.pdf">r1_eksamen_15v.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_15v_eksempel.pdf">r1_eksamen_15v_eksempel.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_15h.pdf">r1_eksamen_15h.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_14v.pdf">r1_eksamen_14v.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_14h.pdf">r1_eksamen_14h.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_13v.pdf">r1_eksamen_13v.pdf</a></li>
<li><a href="pdf/r1_eksamen_13h.pdf">r1_eksamen_13h.pdf</a></li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org6874285" class="outline-2">
<h2 id="org6874285">uke 13</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org6874285">
</div>
<div id="outline-container-org0152615" class="outline-3">
<h3 id="org0152615">Minitest: Derivasjon</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org0152615">
<ul class="org-ul">
<li><a href="pdf/1819_minitest_derivering.pdf">Testen</a></li>
<li><a href="pdf/1819_minitest_derivering_lf.pdf">Løsningsforslag</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org08b9ea8" class="outline-3">
<h3 id="org08b9ea8">Tidligere eksamenssett</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org08b9ea8">
<ul class="org-ul">
<li><a href="pdf/r1_eksamen_18h.pdf">Høsten 2018</a></li>
<li><a href="https://matematikk.net/side/R1_2018_h%C3%B8st_L%C3%98SNING">Løsningsside</a></li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgf3a519f" class="outline-2">
<h2 id="orgf3a519f">uke 11</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgf3a519f">
</div>
<div id="outline-container-org10d1958" class="outline-3">
<h3 id="org10d1958">En start på forberedelse til heldagsprøve</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org10d1958">
<p>
Fjorårets heldagsprøve hadde, blant annet, følgende to oppgaver. Gi disse et realt forsøk (sitt minst ti minutter med hver <i>før</i> du tar frem hjelpemidler).
</p>
</div>
<div id="outline-container-org510371f" class="outline-4">
<h4 id="org510371f">Oppgave 4 (2 poeng)</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org510371f">
<p>
Skriv så enkelt som mulig
</p>
<p>
\[
\ln(ab)^2 + 4 \ln(a^{-4}) - \ln\left(\frac{b^2}{a}\right)
\]
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org88b8740" class="outline-4">
<h4 id="org88b8740">Oppgave 6 (2 poeng)</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org88b8740">
<p>
Løs ulikheten
</p>
<p>
\[
\frac{ (\lg x - 1) (\lg x + 1) (\lg x - 2) } { \lg x }
\]
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgd51447f" class="outline-3">
<h3 id="orgd51447f">En fortsettelse på kjerneregelen</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgd51447f">
<p>
De følgende oppgavene er fra læreboka (du kommer til å trenge at \((e^x)' = e^x\) og \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)):
</p>
</div>
<div id="outline-container-org3abc043" class="outline-4">
<h4 id="org3abc043">8.120</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org3abc043">
<p>
Bruk kjerneregelen og finn \(f'(x)\).
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>\(f(x) = (3x + 1)^2\)</dd>
<dt>b</dt><dd>\(f(x) = (5x - 1)^2\)</dd>
<dt>c</dt><dd>\(f(x) = (2x - 1)^3\)</dd>
<dt>d</dt><dd>\(f(x) = (1 - x)^3\)</dd>
</dl>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2d4c9cd" class="outline-4">
<h4 id="org2d4c9cd">8.216 a)</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2d4c9cd">
<p>
Deriver funksjonen \(f(x) = 5e^{3x}\).
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org20273df" class="outline-4">
<h4 id="org20273df">8.225 b)</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org20273df">
<p>
Deriver funksjonen \(h(x) = \ln(x^3 + 1)\).
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org3e66cf1" class="outline-3">
<h3 id="org3e66cf1">«Back by popular demand»</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org3e66cf1">
<p>
Oppgave 8.224 er en <i>god</i> oppgave. Gjør deg selv en tjeneste, gjør den en gang til.
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org0ca806c" class="outline-2">
<h2 id="org0ca806c">uke 9</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org0ca806c">
</div>
<div id="outline-container-orgae1a3ad" class="outline-3">
<h3 id="orgae1a3ad">Neste ukes vurdering</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgae1a3ad">
<p>
Fra kapittel 6: Dere får en oppgave à la 6.215 og 6.224. Ingen parameterframstilling.
</p>
<p>
Fra kapittel 7: <b>Grenseverdier</b> 7.111, 7.114; <b>kontinuerlige funksjoner</b>, 7.120, 7.124; <b>asymptoter</b> 7.134, 7.145; og <b>derivasjon og funksjonsdrøfting</b> 7.164, 7.177, 7.184.
</p>
<p>
Lykke til!
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org416d9aa" class="outline-3">
<h3 id="org416d9aa">Derivasjon   <span class="tag"><span class="mandag">mandag</span></span></h3>
</div>
<div id="outline-container-orgb15bbe0" class="outline-3">
<h3 id="orgb15bbe0">Derivasjon av polynomer   <span class="tag"><span class="mandag">mandag</span></span></h3>
</div>
<div id="outline-container-org4093003" class="outline-3">
<h3 id="org4093003">Funksjonsdrøfting   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
</div>
<div id="outline-container-org3312e2b" class="outline-3">
<h3 id="org3312e2b">Krumning og vendepunkter   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org0b27665" class="outline-2">
<h2 id="org0b27665">uke 7</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org0b27665">
</div>
<div id="outline-container-org5f156d2" class="outline-3">
<h3 id="org5f156d2">Vertikale asymptoter   <span class="tag"><span class="mandag">mandag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org5f156d2">
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left"><b>minimum</b></td>
<td class="org-left"> </td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><b>ytterligere</b></td>
<td class="org-left"> </td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org0c4ca40" class="outline-3">
<h3 id="org0c4ca40">Horisontale og skrå asymptoter   <span class="tag"><span class="mandag">mandag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org0c4ca40">
<p>
<b>På tavla</b>
</p>
<p>
Funksjonen \(f\) er gitt ved\[f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}.\]
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Finn eventuelle vertikale asymptoter.</dd>
<dt>b</dt><dd>Finn eventuelle horisontale asymptotetr.</dd>
<dt>c</dt><dd>Tegn grafen</dd>
</dl>
<p>
<b>Mininum</b>
</p>
<p>
For hver av funksjonene under, skal du bestemme asymptotene og tegne grafen.
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>\(f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}\)</dd>
<dt>b</dt><dd>\(f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}\)</dd>
<dt>c</dt><dd>\(f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}\)</dd>
<dt>d</dt><dd>\(f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1}\)</dd>
<dt>e</dt><dd>\(f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}\)</dd>
</dl>
<p>
<b>Ytterligere</b>
</p>
<p>
Funksjonen \(f\) er gitt ved \[f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1}.\]
</p>
<dl class="org-dl">
<dt>a</dt><dd>Finn den vertikale asymptoten.</dd>
<dt>b</dt><dd>Finn den horisontale asymptoten når <b>1</b> \(x \rightarrow -\inf\) og <b>2</b> \(x \rightarrow \inf\)</dd>
</dl>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org58a25ca" class="outline-2">
<h2 id="org58a25ca">uke 6</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org58a25ca">
</div>
<div id="outline-container-orge4452d3" class="outline-3">
<h3 id="orge4452d3">Grenseverdier   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orge4452d3">
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left"><b>minimum</b></td>
<td class="org-left">7.10, 11, 12, 13, 14</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><b>ytterligere</b></td>
<td class="org-left">7.110, 111, 113, 116</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org35b28a0" class="outline-3">
<h3 id="org35b28a0">Kontinuerlige funksjoner   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org35b28a0">
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left"><b>minimum</b></td>
<td class="org-left">7.20, 21, 22, 23,</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><b>ytterligere</b></td>
<td class="org-left">7.120, 122, 123, 218</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1a4811b" class="outline-2">
<h2 id="org1a4811b">uke 5</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org1a4811b">
</div>
<div id="outline-container-org0f76dc1" class="outline-3">
<h3 id="org0f76dc1">Skalarproduktet   <span class="tag"><span class="mandag">mandag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org0f76dc1">
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left"><b>minimum</b></td>
<td class="org-left">6.40, 41, 42, 43</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><b>ytterligere</b></td>
<td class="org-left">6.140, 144</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4dd5324" class="outline-3">
<h3 id="org4dd5324">Skalarproduktet i koordinatsystemet   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org4dd5324">
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left"><b>minimum</b></td>
<td class="org-left">6.50, 51, 52</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><b>ytterligere</b></td>
<td class="org-left">6.150, 152</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orga34e8ba" class="outline-3">
<h3 id="orga34e8ba">Regneregler for skalarproduktet   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
</div>
<div id="outline-container-orgcf194fc" class="outline-3">
<h3 id="orgcf194fc">Mer om lengder og vinkler   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgd6d5bcb" class="outline-2">
<h2 id="orgd6d5bcb">uke 4</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgd6d5bcb">
</div>
<div id="outline-container-orgbb44f9b" class="outline-3">
<h3 id="orgbb44f9b">Parallelle vektorer i koordinatsystemet   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbb44f9b">
<div class="DEFINITION">
<p>
\(\vec{u}\) og \(\vec{v}\) er parallelle hvis og bare hvis det finnes et tall \(t\) slik at \(t\cdot \vec{u} = \vec{v}\).
</p>
</div>
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left"><b>minimum</b></td>
<td class="org-left">6.10, 11, 12, 13</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><b>ytterligere</b></td>
<td class="org-left">6.110, 112</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgf548725" class="outline-3">
<h3 id="orgf548725">Parameterfremstillinger   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgf548725">
<div class="DEFINITION">
<p>
Ei linje \(l\) som går gjennom punktet \(A(x_0, y_0)\) og er parallell med retningsvektoren \(\vec{v} = [a, b]\), har parameterframstillingen
\[l: \begin{cases}
x = x_0 + at \\
y = y_0 + bt
\end{cases}\]
</p>
<p>
<img src="figurer/parameterframstilling.png" alt="parameterframstilling.png"/>
</p>
<p>
Du finner geogebrafila til figuren over <a href="ggb/parameterframstilling.ggb">her</a>. Du finner en mer interaktiv utgave <a href="ggb/parameterframstilling_utforsk.ggb">her</a>.
</p>
</div>
<p>
<b>Oppgave 6.21</b> Denne oppgava kan løses tilsvarende det andre eksempelet på side 225.
Ei linje \(l\) har parameterframstillingen
\[l: \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 - 2t\end{cases}\]
</p>
<p>
<b>a)</b> Tegn linja.
</p>
<p>
<b>b)</b> Finn skjæringspunktene mellom linja og koordinataksene.
</p>
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left"><b>minimum</b></td>
<td class="org-left">6.20, 21, 22, 23, 24</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><b>ytterligere</b></td>
<td class="org-left">6.120, 122, <b>125</b></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org615b715" class="outline-3">
<h3 id="org615b715">Parallelle vektorer uten koordinater   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org615b715">
<div class="DEFINITION">
<p>
La \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) være to vektorer som ikke er parallelle. La \(\vec{v}\) være en tredje vektor. Da fins det to tall $$ og \(y\) slik at
\[\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}.\]
</p>
</div>
<p>
Vi har også snakket om <i>dekomponerte vektorer</i>, hvor vi skriver \(\vec{v}\) som en kombinasjon av to <i>basisvektorer</i> \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\). Vi kan kun dekomponere vektorer på én måte med en gitt basis, og vi får da regelen under.
</p>
<div class="DEFINITION">
<p>
La \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) være to vektorer som ikke er parallelle, og la \(\vec{u} = x_1 \vec{a} + y_1 \vec{b}\) og \(\vec{v} = x_2 \vec{a} + y_2 \vec{b}\). Da gjelder
\[\vec{u} = \vec{v} \iff x_1 = x_2 \wedge y_1 = y_2\]
</p>
</div>
<table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides">
<colgroup>
<col class="org-left" />
<col class="org-left" />
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left"><b>minimum</b></td>
<td class="org-left">6.30, 31, 32, 33</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left"><b>ytterligere</b></td>
<td class="org-left">6.130, 133, 134</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orged5924d" class="outline-2">
<h2 id="orged5924d">uke 3</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orged5924d">
</div>
<div id="outline-container-orgdbaed52" class="outline-3">
<h3 id="orgdbaed52">Informasjon om vurdering</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgdbaed52">
<p>
Prøven på mandag dekker hele kapittel 5 og er kun del 1. Vær forberedt på å kunne…
</p>
</div>
<div id="outline-container-org3ebe8c5" class="outline-4">
<h4 id="org3ebe8c5">Tegning</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org3ebe8c5">
<p>
Tegne vektorer, \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), som du så skal kombinere på ulike måter, for eksempel tegne \(\frac{1}{2}\vec{a} - 2\vec{b}\). Du velger selv \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\).
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org81e3de8" class="outline-4">
<h4 id="org81e3de8">Vektoralgebra</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org81e3de8">
<p>
Regne ut algebraiske uttrykk med vektorer, à la å skulle forenkle \(\vec{a} - 2\left(3\vec{b} + \vec{a}\right) + \frac{1}{3}\vec{a}\).
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org8db8dc9" class="outline-4">
<h4 id="org8db8dc9">Trekanter og firkanter som vektoruttrykk</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org8db8dc9">
<p>
Se på oppgaver som <a href="#org72cf4d6">5.34</a> fra uke 1.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1590fff" class="outline-4">
<h4 id="org1590fff">Regning med vektorkoordinater</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org1590fff">
<p>
\(\vec{c} = \left[4, 3t\right]\) hva må \(t\) være for at lengden av \(\vec{c}\) skal være 4?
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org7c9982d" class="outline-4">
<h4 id="org7c9982d">Regning med vektorkoordinater tillegg</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org7c9982d">
<p>
\(\vec{d} = \left[2s, 4s\right]\), finnes det en \(s\) slik at \(\vec{d}\) er parallell med vektor \(\vec{u}=\left[1, 3\right]\)?
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgf363209" class="outline-4">
<h4 id="orgf363209">Sirkellikningen</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgf363209">
<ul class="org-ul">
<li>Skriv likningen til en sirkel med senter i \((2, 3)\) og radius \(4\).</li>
<li>Hvor har sirkelen med likning \(x^2 + y^2 - 4x + 6y = -4\) senter og hvor stor radius har den?</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orga6d06cb" class="outline-4">
<h4 id="orga6d06cb">Avsluttende info</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orga6d06cb">
<p>
Jeg gjentar, hele kapittel 5 kan trekkes fram, og jeg vil forsøke å lage oppgaver som spenner fra greie til vanskelige, av de nevnt over anser jeg den siste som den ubestridt vanskeligste (i det minste om man ikke husker «fullstendige kvadraters metode»).
</p>
<p>
Lykke til med forberedelsene. Jeg er tilgjengelig over skolemelding eller e-post ([email protected]) om det er behov for hjelp. Jeg har dog ikke tilgang på R1-boka hjemme, så skriv ned oppgaveteksten fra det dere lurer på.
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgeeddd41" class="outline-3">
<h3 id="orgeeddd41">Sirkellikningen   <span class="tag"><span class="mandag">mandag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgeeddd41">
<p>
Om vi har to punkter, \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\), kan vi finne avstanden, \(d\), mellom disse som
\[d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.\]
</p>
<p>
La oss for enkelhets skyld la det ene punktet være origo, vi får da at avstanden fra origo til et vilkårlig punkt \((x, y)\) blir
\[d = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}.\]
</p>
<p>
De $x$- og $y$-verdiene som oppfyller likningen over, er altså alle punktene som har en gitt avstand \(d\) fra origo. <b>Dette er definisjonen på en sirkel.</b> En sirkel er nettopp alle punkter som har en gitt avstand fra et senter, og vi kaller da denne avstanden for sirkelens radius. Om vi da bytter ut \(d\) med \(r\), for radius, og opphøyer begge sider i andre, for å slippe kvadratroten, får vi
\[r^2 = x^2 + y^2.\]
</p>
<p>
Dersom vi nå ønsker å finne likningen for en sirkel som <i>ikke</i> har senter i origo, men i \(S(x_0, y_0)\), får vi da
\[r^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2.\]
</p>
<p>
Legg merke til at dette er alle punkter \((x, y)\) som har en avstand \(r\) fra et senter i \((x_0, y_0)\). Jeg forsøker å vise dette i Geogebra-feltet under. Du kan laste ned geogebrafila <a href="ggb/sirkellikningen.ggb">her</a>.
</p>
<meta name=viewport content="width=device-width,initial-scale=1">
<script src="https://cdn.geogebra.org/apps/deployggb.js"></script>
<div id="ggb-element"></div>
<script type="text/javascript">
var parameters = {
"id":"ggbApplet",
"appName":"graphing",
"width":800,
"height":600,
"showToolBar":false,
"borderColor":null,
"showMenuBar":false,
"allowStyleBar":false,
"showAlgebraInput":false,
"enableLabelDrags":false,
"enableShiftDragZoom":true,
"capturingThreshold":null,
"showToolBarHelp":false,
"errorDialogsActive":true,
"showTutorialLink":false,
"showLogging":false,
"useBrowserForJS":false,
"material_id":"drvhzhff"
};
var ggbApp =new GGBApplet(parameters, '5.0', 'ggb-element');
window.addEventListener("load", function() {
ggbApp.inject('ggb-element');
});
</script>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgb4e883e" class="outline-3">
<h3 id="orgb4e883e">Sirkelen som grafen til to funksjoner   <span class="tag"><span class="mandag">mandag</span></span></h3>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgccd7952" class="outline-2">
<h2 id="orgccd7952">uke 2</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgccd7952">
</div>
<div id="outline-container-org678d916" class="outline-3">
<h3 id="org678d916">Regning med vektorkoordinater</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org678d916">
</div>
<div id="outline-container-org883131b" class="outline-4">
<h4 id="org883131b">Eksempel 1</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org883131b">
<p>
La \(\vec{u} = [2, 3]\) og \(\vec{v} = [4,-1]\).
</p>
<p>
<b>a</b> Finn \(\vec{u}-\vec{v}\) ved regning.
<b>b</b> Finn \(\vec{u}-\vec{v}\) ved tegning.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org5b57731" class="outline-4">
<h4 id="org5b57731">Eksempel 2</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org5b57731">
<p>
La \(\vec{a}=[-2, 4]\), \(\vec{b}=[3,-1]\) og \(\vec{v}=[x,y]\).
</p>
<p>
Finn \(x\) og \(y\) slik at
\[2\vec{v} - 4\vec{a} = 6\vec{b}.\]
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgb4b255f" class="outline-3">
<h3 id="orgb4b255f">Vektoren mellom to punkter   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgb4b255f">
</div>
<div id="outline-container-org1715275" class="outline-4">
<h4 id="org1715275">Overkomplisering</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org1715275">
<p>
Vær obs på at vi noen ganger har en tendens til å overkomplisere litt. La oss se på eksempelet på side 204 i boka.
</p>
<p>
<b>Boka</b>
Punktene \(A(3, 1)\) og \(B(1,5)\) er gitt. Finn koordinatene til midtpunktet \(M\) på \(AB\).
</p>
<img src="figurer/eksempel204.png" width=30%>
<p>
Figuren er fra <a href="ggb/eksempel204.ggb">denne</a> Geogebra-fila
</p>
<p>
<b>Løsning</b>
Her er
\[\vec{AB} = \left[1-3, 5-1\right] = \left[-2, 4\right]\]
Ettersom \(M\) ligger midt på \(AB\), har \(\vec{AM}\) samme retning som \(\vec{AB}\), men bare halve lengden. Det gir
\[\vec{AM}=\frac{1}{2}\cdot \vec{AB}=\frac{1}{2}\cdot\left[-2, 4\right]=\left[-1, 2\right]\]
La \(O\) være origo i koordinatsystemet. Da er
\[\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM} = \left[3, 1\right] + \left[-1, 2\right] = \left[2,3\right]\]
</p>
<p>
Midtpunktet \(M\) har koordinatene \(\left(2, 3\right)\).
</p>
<p>
Det følgende er en alternativ måte å løse oppgaven på:
</p>
<p>
Siden \(M\) skal være midtpunktet mellom \(A\) og \(B\) må x-verdien til \(M\) ligge midt mellom x-verdiene til \(A\) og \(B\) og tilsvarende for y-verdiene.
</p>
<p>
Vi får altså \(M\left(\frac{3+1}{2}, \frac{1+5}{2}\right)=M\left(2, 3\right)\).
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgaa598aa" class="outline-3">
<h3 id="orgaa598aa">Lengde og avstand   <span class="tag"><span class="torsdag">torsdag</span></span></h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgaa598aa">
<p>
Lengden av vektoren \(\vec{v} = [x, y]\) er
\[|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
</p>
<p>