papiros_gy9.Rmd

---
title: "Matstat 04.25."
output: html_document
---

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

# 04.18. feladatsor
## 4.feladat
\[
\varphi(x)=\begin{cases}
0&x<c\\
p&x=c\\
1&x>c
\end{cases}
\]
\[Geo(p) \quad P(X=4) = p\cdot(1-p)^n-1 \\
H_0:p=\frac{1}{2} \\
H_1:p=\frac{2}{3}\]

$H_0$ esetén 4 minta átlaga mi lehet?
\[E(X) = \frac{1}{p} \rightarrow 2 (p=\frac{1}{2}) \\
\overset{\text{momentum módszer}}{\Rightarrow} \hat p = \frac{1}{E(X)}
\Rightarrow\hat p = \frac{1}{x}
\]
\[
\begin{cases}
0&\hat p<c\\
q&\hat p=c\\
1&\hat p>c
\end{cases}\\
\downarrow \\
\begin{cases}
0&\overline{x}<\frac{1}{c}\\
q&\overline{x}=\frac{1}{c}\\
1&\overline{x}>\frac{1}{c}
\end{cases}
\]

\[
\frac{\overline{x}-m}{\sqrt n \cdot 5} \longrightarrow N(0,1) \text{ (Standard Normálishoz tart) }
\]

\[
D^2(x)=\frac{1-p}{p^2}
\]

Ez(ek) alapján:
Arra vagyunk kíváncsiak, hogy mintaátlagvalószínűség hol lesz kisebb mint ...
\[ P\left(\frac{\overline x - \frac{1}{p}}{\sqrt n \cdot \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}} <  \frac{d - \frac{1}{p}}{\sqrt n \cdot \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}}\right) =  0.95\] 
Ez a kvantilis $1.65$ (táblázatból)

Ha $H_0$ teljesül: $p=\frac{1}{2}$
\[  \frac{d - \frac{1}{p}}{\sqrt n \cdot \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}} = 1.65 \\
\Downarrow p\ beírva, átrendezve \\
d = 1.65 \cdot 2\cdot \sqrt 2 + 2
\]
Ha <valami> kisebb akkor $H_0$ teljesül, ha nagyobb akkor $H_1$

Valamilyen valószínűség mellett vagz elfogadjuk vagy elutasítjuk. Mivel valami határeloszlás tételt használtunk, a standardizálás miatt. (???)

Úgy néz ki a próba, hogy:

Ha $\overline x > d \Rightarrow H_0\ elfogad$ 

Ha $\overline x < d \Rightarrow H_0\ elutasít$

# 5.feladat
$H_0$: kocka szabályos $\Rightarrow P(A_i) = \frac{1}{6}$

$A_i$: ennyi i-est dobtunk

$H_1$: nem szabályos

Mit is szeretnénk pontosan?

típus      | 1  | 2  | 3  | 4  | 5 | 6 
---------  | -- | -- | -- | -- | --| --
tapasztalt | 16 | 26 | 18 | 25 | 19| 16
elméleti  | 20 | 20 | 20 | 20 | 20| 20

\[
\chi^2 = \sum \frac{(x_i-20)^2}{20} = \dots = \frac{98}{20} \approx 4.9
\]

Állítás: $\chi^2 \overset{H_0}{\sim} \chi^2_{r-1} \underset{r=6}{=} \chi_5^2$

Kritikus érték: $11.07$
\[\chi^2 < 11.07 \Rightarrow H_0 \text{ elfogadjuk}  \]

#04.25. feladatsor
## 1.feladat

hibaszám|0|1|2|3|4|5|6|7|8+
---|--|--|--|--|--|--|--|---|--------
darab|44|52|36|20|12|5|0|1|0

Célszerű összevonni az 5+ értékeket


## 2.feladat
csapadék hőmérséklet|kevés|átlagos|sok|tapasztalat
----|--|--|----|--
hűvös|15|10|5|0.3
átlagos|10|10|20|0.4
meleg|5|20|5|0.3
tapasztalat|0.3|0.4|0.3|n=100

Elmélet:
$T_{i,j}=q_i \cdot p_j \cdot n$

a | k | á | s
-|-|-|-
h|9|12|9
á|12|16|12
m|9|12|9


\[
\chi^2 = \sum_{cellák} \frac{(tap-elm)^2}{elm} = ... = \text{túl nagy} \sim \chi^2_{3\cdot 3-1} \quad \text{Kritikus érték:} 15.51
\]