(Nota: per ΩT si intende la frequenza di campionamento, e non il prodotto di Ω e T)
Sia ga(t) un segnale analogico a banda limitata con Ga(iΩ) = 0, per
|Ω| > |Ωm| Ga(t) è totalmente determinato dai suoi campioni ga(nT), e può
essere fedelmente ricostruito dai campioni ga(nT) per n in [-inf,+inf], se la
frequenza angolare di campionamento ΩT >= 2Ωm con ΩT >= 2π/T.
In altre parole, se vogliamo che il segnale a banda limitata ga(t) sia
ricostruibile dai suoi campioni, dobbiamo campionarlo con frequenza di
campionamento almeno pari a due volte la larghezza di banda. Il segnale potrà
essere ricostruito generando:
e filtrando il segnale con un passabasso ideale.
delta(n) = 1 if x == 0, 0 otherwise
Come potete vedere, l'argomento della funzione delta si annulla per t - nT = 0 ovvero per n = t/T, in questo modo "selezionamo" n in modo da restituirci il campione relativo all'istante t.
Campionamo un segnale con frequenza di campionamento ΩT = 200Hz, il che significa che potremmo avere fedeltà fino a 100hz di larghezza di banda. Il segnale analogico al tempo 2s equivale al campione 400 della nostra sequenza campionata.
ga(2) = g(2 * 200) ovvero ga(t) = g(t/T)
Per evitare distorsioni dovute all'aliasing, prima di campionare il segnale lo si filtra con un low-pass (detto anti-aliasing) che genera un segnale a banda limitata. Il segnale viene campionato poi con frequenza |ΩT| > |2Ωm|. Anche il segnale di uscita è filtrato con un low-pass detto reconstruction-filter.
Il teorema di Parseval è presente in diverse forme e principalmente ci dice che la somma (o integrale) di una funzione nel dominio principale è uguale alla somma (o integrale) della funzione nel dominio trasformato.
Queste sommatorie dei quadrati delle funzioni ci danno le "energie" dei vari segnali.