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Immagini nel dominio della frequenza

Spettro delle Immagini

CTFT

Sia (f(x,y)) una funzione continua di variabili continue, la sua trasformata a tempo continuo di Fourier si definisce come:

Mentre la trasformata inversa invece è data da:

Il dominio trasformato viene definito dominio della frequenza, e le variabili indipendenti, nel caso delle immagini, hanno l'unità di misura definita in cicli/m.

Come abbiamo visto per lo spettro dei segnali, anche quà il lobo principale tende a contrarsi all'aumentare delle dimensioni dell'immagine originale.

DFT

Per un immagine MxN viene così definita:

L'inversa è:

Lo spettro è periodico sulle dimensioni MxN, quindi al di fuori di quella sezione i valori si ripetono.

Per funzioni reali, lo spettro è a simmetria coniugata, per le immaginarie (quelle con Re(f(x,y))=0) è ad antisimmetria coniugata.

Interpetazione dello spettro delle immagini (facoltativo)

A differenza del caso dei segnali, lo spettro delle immagini risulta meno leggibile e interpretabile. In parole povere, non ci si può aspettare di interpretare facilmente l'informazione contenuta nello spettro.

Allo stesso modo, non è consigliabile il design di filtri nel dominio della frequenza. Infatti, la caratteristica principale delle immagini sono i bordi, che son composti da un range vasto di frequenze. Di solito è meglio lavorare nel dominio spaziale e ragionare in termini di smoothing e sharpening piuttosto che di filtraggi high-pass e low-pass.

Modificare un immagine nel dominio della frequenza in generale non è produttivo, ma d'altro canto, il dominio trasformato ha delle particolari proprietà, tra cui il fatto che la convoluzione nel dominio spaziale è un prodotto nel dominio della frequenza (per il teorema di convoluzione). Questa proprietà introduce quindi una semplificazione delle operazioni.

Fonte: http://www.dspguide.com/ch24/5.htm

Filtraggio immagini nel dominio della frequenza

Data un'immagine f(x,y) di dimensioni MxN, si ricavano i parametri di padding P e Q a seconda delle dimensioni del filtro. Di solito si assume P = 2M e Q = 2N.

• si forma l'immagine padded, fp(x,y) di dimensioni PxQ estendendo la f(x,y) con il necessario numero di zeri
• si moltiplica fp(x,y) per (-1)^(x+y) per centrare la trasformata
• si calcola la DFT, F(u,v) dell'immagine fp(x,y)
• si genera una funzione simmetrica reale H(u,v) di dimensioni PxQ con il centro alle coordinate (P/2, Q/2)
• si ottiene l'immagine gp(x,y) = IDTF2D(H(u,v)F(u,v))*(-1)^(x+y)
• l'immagine finale g(x,y) si ottiene attraverso l'estrazione della regione MxN del quadrante in alto a sinistra di gp(x,y)

L'uso di una funzione filtro H(u,v) preserva la fase dell'immagine nel processo.

Smoothing nel dominio della frequenza

I contorni e le transizioni di intensità più nette (come il rumore), aumentano il contenuto di alte frequenze nella trasformata. Per applicare un effetto di smoothing (sfocamento) si applica un filtro passabasso.

Low-Pass ideale

Lascia passare tutte le frequenze all'interno di un circolo di raggio D centrato nell'origine, e taglia le frequenze al di fuori del cerchio.

Il filtro gode di simmetria radiale, ed è quindi completamente definito da una sezione trasversale radiale, dove il punto di transizione è detto frequenza di taglio. Tale filtraggio introduce l'effetto ringing, che diventa meno evidente al crescere della frequenza di taglio.

Butterworth e Gaussiano

Altri tipi di filtri sono il filtro Butterworth, che riduce lo smoothing ma elimina l'effetto ringing e Gaussiano, la cui risposta in frequenza e antitrasformata hanno la forma di una funzione gaussiana.

Sharpening nel dominio della frequenza

Lo sharpening nel dominio della frequenza si ottiene con l'applicazione di filtri passa-alto, che vanno a tagliare le frequenze al di fuori della frequenza di taglio.