diff --git a/Analysis of Signals and Linear Systems.pdf b/Analysis of Signals and Linear Systems.pdf index 557647d..192a71f 100644 Binary files a/Analysis of Signals and Linear Systems.pdf and b/Analysis of Signals and Linear Systems.pdf differ diff --git a/Chapter01B.tex b/Chapter01B.tex index 603984d..96b4523 100644 --- a/Chapter01B.tex +++ b/Chapter01B.tex @@ -71,7 +71,7 @@ \subsubsection{模拟信号、抽样信号和数字信号} \subsubsection{周期信号} -\begin{BoxDefinition}[周期信号] +\begin{BoxDefinition}[周期信号]* 定义在$(-\infty,\infty)$区间，每隔一定时间$T$（或整数$N$），按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号$f(t)$满足 @@ -88,11 +88,11 @@ \subsubsection{周期信号} 不具有周期性的信号称为非周期信号。 -\begin{BoxProperty}[连续周期信号的周期] +\begin{BoxProperty}[连续周期信号的周期]* 两个周期信号$x(t),y(t)$的周期分别为$T_1$和$T_2$，若其周期之比$T_1/T_2$为有理数，则其和信号$x(t)+y(t)$仍然是周期信号，其周期为$T_1$和$T_2$的最小公倍数。 \end{BoxProperty} -\begin{BoxProperty}[正弦序列的周期] +\begin{BoxProperty}[正弦序列的周期]* 对于离散周期信号$f(k) = \sin(\beta k)$。 仅当$\frac{2\pi}{\beta}$为整数时，正弦序列才具有周期 @@ -112,7 +112,7 @@ \subsubsection{周期信号} \subsubsection{能量信号和功率信号} -\begin{BoxDefinition}[能量信号] +\begin{BoxDefinition}[能量信号]* 满足以下条件的连续信号称为能量信号 \begin{Equation} E = \int_{-\infty}^{\infty}\left|f(t)\right|^2 dt < \infty @@ -124,7 +124,7 @@ \subsubsection{能量信号和功率信号} 即能量有界，此时有$P = 0$ \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[功率信号] +\begin{BoxDefinition}[功率信号]* 满足以下条件的连续信号称为功率信号 \begin{Equation} P = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left|f(t)\right|^2 dt < \infty @@ -142,11 +142,11 @@ \subsubsection{能量信号和功率信号} \subsubsection{一维信号和多维信号} -\begin{BoxDefinition}[一维信号] +\begin{BoxDefinition}[一维信号]* 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。 \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[多维信号] +\begin{BoxDefinition}[多维信号]* 由多个自变量描述的信号，如图像信号。 \end{BoxDefinition} @@ -158,7 +158,7 @@ \subsubsection{指数信号} \includegraphics[width=40mm]{visio/1.5.pdf} \end{Figure} -\begin{BoxDefinition}[指数信号] +\begin{BoxDefinition}[指数信号]* 形如以下形式的信号为指数信号 \begin{Equation} f(t)=Ke^{\alpha t} @@ -170,7 +170,7 @@ \subsubsection{指数信号} $\alpha > 0$时指数增长 \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[单边衰减指数信号] +\begin{BoxDefinition}[单边衰减指数信号]* \begin{Equation} f(t)=\left\{ \begin{aligned} @@ -188,7 +188,7 @@ \subsubsection{指数信号} \subsubsection{正弦信号} -\begin{BoxDefinition}[正弦信号] +\begin{BoxDefinition}[正弦信号]* 形如以下形式的信号为正弦信号 \begin{Equation} f(t)=K\sin(\omega t +\theta) @@ -203,7 +203,7 @@ \subsubsection{正弦信号} \end{Equation} \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[衰减正弦信号] +\begin{BoxDefinition}[衰减正弦信号]* \begin{Equation} f(t)=\left\{ \begin{aligned} @@ -217,7 +217,7 @@ \subsubsection{正弦信号} \subsubsection{复指数信号} -\begin{BoxDefinition}[复指数信号] +\begin{BoxDefinition}[复指数信号]* 复指数信号 \begin{Equation} f(t)=Ke^{(\sigma + \mathrm{j} \omega)t}=Ke^{\sigma t}\cos(\omega t) + \mathrm{j}Ke^{\sigma t}\sin(\omega t) @@ -245,7 +245,7 @@ \subsubsection{复指数信号} \subsubsection{抽样信号} -\begin{Figure}[抽样信号] +\begin{Figure}[抽样信号]* \includegraphics[width=100mm]{visio/1.6.pdf} \end{Figure} @@ -256,7 +256,7 @@ \subsubsection{抽样信号} \end{Equation} \end{BoxDefinition} -\begin{BoxProperty}[抽样信号的性质] +\begin{BoxProperty}[抽样信号的性质]* 抽样信号有如下性质 \begin{Equation} \begin{array}{l} diff --git a/Chapter01D.tex b/Chapter01D.tex index 1f15284..3700295 100644 --- a/Chapter01D.tex +++ b/Chapter01D.tex @@ -62,7 +62,7 @@ \subsection{单位冲激函数} \subsection{冲激函数的性质} -\begin{BoxProperty}[冲激函数的取样性] +\begin{BoxProperty}[冲激函数的取样性]* 冲激函数的取样性 \begin{Equation} f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) \\ diff --git a/Chapter01F.tex b/Chapter01F.tex index 19f3714..3ecaae6 100644 --- a/Chapter01F.tex +++ b/Chapter01F.tex @@ -28,7 +28,7 @@ \subsubsection{线性} \end{Equation} \end{BoxProperty} -\begin{BoxProperty}[线性系统的条件] +\begin{BoxProperty}[线性系统的条件]* 判断一个系统是否属于线性系统，需要满足以下三个条件 可分解性 diff --git a/Chapter02A.tex b/Chapter02A.tex index 87e5e48..bf61e37 100644 --- a/Chapter02A.tex +++ b/Chapter02A.tex @@ -124,7 +124,7 @@ \subsection{零输入响应和零状态响应} $y_{zi}(t)$定义域为$t\geq0$ \end{BoxFormula} -\begin{BoxFormula}[零状态响应] +\begin{BoxFormula}[零状态响应]* 零状态响应解的形式与对应齐次方程通解相似，参考\xref{fml:微分方程的齐次解}，区别在于需要加上特解$y_p(t)$，形式的规则同\xref{fml:微分方程的特解} 例如特征方程有$n$个单特征实根时 diff --git a/Chapter02B.tex b/Chapter02B.tex index c0eadd8..accd656 100644 --- a/Chapter02B.tex +++ b/Chapter02B.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \section{冲激响应和阶跃响应} \subsection{冲激响应} -\begin{BoxDefinition}[冲激响应] +\begin{BoxDefinition}[冲激响应]* 由单位冲激函数$\delta(t)$所引起的零状态响应称为单位冲激响应 \begin{Equation} h(t) = T[\{0\},\delta(t)] @@ -35,7 +35,7 @@ \subsection{冲激响应} \end{BoxFormula} -\begin{BoxFormula}[冲激响应的求解-系数] +\begin{BoxFormula}[冲激响应的求解-系数]* 求解系数可由\xref{fml:零状态响应}中冲激函数匹配法求得各阶$0_+$值代入求解或奇异函数项平衡法直接解出系数（若响应包含冲激项，用此方法） diff --git a/Chapter02C.tex b/Chapter02C.tex index 5935c13..38ec4d9 100644 --- a/Chapter02C.tex +++ b/Chapter02C.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \section{卷积积分} \subsection{信号的时域分解与卷积积分} -\begin{BoxDefinition}[信号的时域分解] +\begin{BoxDefinition}[信号的时域分解]* 对于任意的信号，均可以用若干个冲激函数叠加表示。 定义$p(t)$如下图 @@ -44,7 +44,7 @@ \subsection{信号的时域分解与卷积积分} \subsection{卷积的图解法} -\begin{BoxProperty}[卷积的图解法] +\begin{BoxProperty}[卷积的图解法]* 对于卷积积分 \begin{Equation} f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau diff --git a/Chapter02D.tex b/Chapter02D.tex index 3ccac70..2672170 100644 --- a/Chapter02D.tex +++ b/Chapter02D.tex @@ -68,19 +68,19 @@ \subsection{与冲击函数或阶跃函数的卷积} \subsection{卷积的微积分性质} -\begin{BoxProperty}[卷积的微分性质] +\begin{BoxProperty}[卷积的微分性质]* 若$f(t) = f_1(t)*f_2(t) = f_2(t)*f_1(t)$，则： \begin{Equation} f^{(1)}(t) = f_1^{(1)}(t) * f_2(t) = f_1(t) * f_2^{(1)}(t) \end{Equation} - 证明： +\end{BoxProperty} +证明： \begin{Equation} f^{(1)}(t) = \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau) \frac{d}{dt}f_2(t-\tau) = f_1(t)*f_2^{(1)}(t) \end{Equation} - $f_1^{(1)}(t) * f_2(t)$同理。 -\end{BoxProperty} +$f_1^{(1)}(t) * f_2(t)$同理。 -\begin{BoxProperty}[卷积的积分性质] +\begin{BoxProperty}[卷积的积分性质]* 若$f(t) = f_1(t)*f_2(t) = f_2(t)*f_1(t)$，则： \begin{Equation} \int_{-\infty}^{t}\left[f_1(\tau)*f_2(\tau)\right]d\tau = \left[\int_{-\infty}^{t}f_1(\tau)d\tau\right]*f_2(t) = f_1(t)*\left[\int_{-\infty}^{t}f_2(\tau)d\tau\right] diff --git a/Chapter04A.tex b/Chapter04A.tex index 182ffb0..cc79c92 100644 --- a/Chapter04A.tex +++ b/Chapter04A.tex @@ -27,7 +27,7 @@ \subsection{信号正交与正交函数集} 可简记为函数内积为$0$。 \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[正交函数集] +\begin{BoxDefinition}[正交函数集]* 若$n$个函数$\varphi_1(t),\varphi_2(t),\dots,\varphi_n(t)$构成一个函数集，这些函数在区间$(t_1,t_2)$满足 \begin{Equation} \int_{t_1}^{t_2}\varphi_i(t)\varphi_j(t)dt = \left\{\begin{aligned} @@ -54,7 +54,7 @@ \subsection{信号正交与正交函数集} \subsection{信号的正交分解} -\begin{BoxDefinition}[信号的正交分解] +\begin{BoxDefinition}[信号的正交分解]* 设有$n$个函数$\varphi_1(t),\varphi_2(t),\dots,\varphi_n(t)$在区间$(t_1,t_2)$构成一个正交函数空间。将任一函数$f(t)$用这$n$个正交函数的线性组合来近似，可表示为 \begin{Equation} f(t)\approx C_1\varphi_1(t)+C_2\varphi_2(t)+\dots+\varphi_n(t) @@ -71,7 +71,7 @@ \subsection{信号的正交分解} \end{Equation} \end{BoxDefinition} -\begin{BoxFormula}[巴塞瓦尔能量公式] +\begin{BoxFormula}[巴塞瓦尔能量公式]* 巴塞瓦尔能量公式 \begin{Equation} \int_{t_1}^{t_2} f^2(t) dt= \sum\limits_{i=1}^{\infty}C_i^2K_i diff --git a/Chapter04B.tex b/Chapter04B.tex index e106e7d..c0ca3f5 100644 --- a/Chapter04B.tex +++ b/Chapter04B.tex @@ -31,7 +31,7 @@ \subsection{傅里叶级数的三角式} \end{Equation} \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[傅里叶级数的三角函数形式] +\begin{BoxDefinition}[傅里叶级数的三角函数形式]* 设$f(t) = f(t+mT)$，即$f(t)$为周期信号，且$\Omega = \frac{2\pi}{T}$，满足狄里赫利（Dirichlet）条件，可分解为以下三角级数，称为傅里叶级数。 \begin{Equation} f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\Omega t)+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n \sin(n\Omega t) @@ -105,7 +105,7 @@ \subsection{波形的对称性与谐波特性} \subsection{傅里叶级数的指数形式} -\begin{BoxDefinition}[傅里叶级数的指数形式] +\begin{BoxDefinition}[傅里叶级数的指数形式]* 虚指数函数集 \begin{Equation} \left\{e^{jn\Omega t},n=0,\pm 1,\pm 2, \dots\right\} @@ -146,7 +146,7 @@ \subsection{傅里叶级数的指数形式} \end{Equation} \end{BoxDefinition} -\begin{BoxProperty}[傅里叶系数之间的关系] +\begin{BoxProperty}[傅里叶系数之间的关系]* 傅里叶系数之间满足以下关系 \begin{Equation} F_n = \frac{1}{2}A_ne^{\mathrm{j}\varphi_n} = |F_n|e^{\mathrm{j}\varphi_n} = \frac{1}{2}(a_n-\mathrm{j}b_n) diff --git a/Chapter04D.tex b/Chapter04D.tex index dd24e35..2741167 100644 --- a/Chapter04D.tex +++ b/Chapter04D.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \section{非周期信号的频谱} \subsection{傅里叶变换} -\begin{BoxDefinition}[傅里叶变换] +\begin{BoxDefinition}[傅里叶变换]* $f(t)$的傅里叶变换 \begin{Equation} F(\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\mathrm{j}\omega t}dt @@ -39,7 +39,7 @@ \subsection{傅里叶变换} \subsection{常用函数的傅里叶变换} -\begin{BoxFormula}[门函数的傅里叶变换] +\begin{BoxFormula}[门函数的傅里叶变换]* 门函数记为$g_{\tau}(t)$ \begin{Figure}[门函数] \includegraphics[width=15mm]{visio/4.7.pdf} diff --git a/Chapter04E.tex b/Chapter04E.tex index d2756d6..6884f88 100644 --- a/Chapter04E.tex +++ b/Chapter04E.tex @@ -57,7 +57,7 @@ \subsection{对称性} \subsection{尺度变换性质} -\begin{BoxProperty}[傅里叶变换的尺度变换性质] +\begin{BoxProperty}[傅里叶变换的尺度变换性质]* 如果$f(t)\longleftrightarrow F(\mathrm{j}\omega)$，那么 \begin{Equation} f(at)\longleftrightarrow\frac{1}{|a|}F\left(\mathrm{j}\frac{\omega}{a}\right) @@ -67,7 +67,7 @@ \subsection{尺度变换性质} \subsection{傅里叶变换的时移特性} -\begin{BoxProperty}[傅里叶变换的时移特性] +\begin{BoxProperty}[傅里叶变换的时移特性]* 如果$f(t)\longleftrightarrow F(\mathrm{j}\omega)$，那么 \begin{Equation} f(t-t_0)\longleftrightarrow e^{-\mathrm{j}\omega t_0}F(\mathrm{j}\omega) @@ -77,7 +77,7 @@ \subsection{傅里叶变换的时移特性} \subsection{频移性质} -\begin{BoxProperty}[傅里叶变换的频移性质] +\begin{BoxProperty}[傅里叶变换的频移性质]* 如果$f(t)\longleftrightarrow F(\mathrm{j}\omega)$，那么 \begin{Equation} F\left[\mathrm{j}(\omega - \omega_0)\right]\longleftrightarrow e^{\mathrm{j}\omega_0 t}f(t) @@ -89,7 +89,7 @@ \subsection{频移性质} \subsection{卷积性质} -\begin{BoxTheorem}[时域卷积定理] +\begin{BoxTheorem}[时域卷积定理]* 如果$f_1(t)\longleftrightarrow F_1(\mathrm{j}\omega)$，$f_2(t)\longleftrightarrow F_2(\mathrm{j}\omega)$，那么 \begin{Equation} f_1(t)*f_2(t) \longleftrightarrow F_1(\mathrm{j}\omega)F_2(\mathrm{j}\omega) @@ -101,7 +101,7 @@ \subsection{卷积性质} \subsection{时域的微分和积分} -\begin{BoxTheorem}[傅里叶变换的时域微分定理] +\begin{BoxTheorem}[傅里叶变换的时域微分定理]* 如果$f(t)\longleftrightarrow F(\mathrm{j}\omega)$，那么 \begin{Equation} f^{(n)}(t)\longleftrightarrow (\mathrm{j}\omega)^{n}F(\mathrm{j}\omega) @@ -141,7 +141,7 @@ \subsection{频域的微分和积分} \subsection{相关定理} -\begin{BoxDefinition}[相关函数] +\begin{BoxDefinition}[相关函数]* 相关函数即两函数间的相关性函数。 对于函数$f(t)$，其自相关函数为 \begin{Equation} @@ -157,8 +157,8 @@ \subsection{相关定理} \begin{Equation} \begin{aligned} f(t)*y(t) & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)y(t-\tau) d\tau \\ - & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)f(\tau-t) d\tau \\ - & = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t-\tau) dt + & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)f(\tau-t) d\tau \\ + & = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t-\tau) dt \end{aligned} \end{Equation} 证毕。 diff --git a/Chapter04F.tex b/Chapter04F.tex index b87cc0d..71d4187 100644 --- a/Chapter04F.tex +++ b/Chapter04F.tex @@ -32,7 +32,7 @@ \subsection{能量谱密度} \subsection{功率谱} -\begin{BoxDefinition}[功率谱] +\begin{BoxDefinition}[功率谱]* 功率谱指单位频率的信号功率，记为$P(\mathrm{j}\omega)$。 在频带$df$内信号的总功率为$P(\omega)df$，因而信号在整个频率范围的总功率 diff --git a/Chapter04G.tex b/Chapter04G.tex index 7a4e91a..4cd8b4c 100644 --- a/Chapter04G.tex +++ b/Chapter04G.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{周期信号的傅里叶变换} \subsection{正、余弦的傅里叶变换} -\begin{BoxFormula}[正弦函数的傅里叶变换] +\begin{BoxFormula}[正弦函数的傅里叶变换]* 由\xref{def:傅里叶级数的指数形式}可知，正弦函数满足 \begin{Equation} \sin \omega_0 t = \frac{1}{2\mathrm{j}}(e^{\mathrm{j}\omega_0 t}-e^{-\mathrm{j}\omega_0 t}) @@ -25,7 +25,7 @@ \subsection{正、余弦的傅里叶变换} \subsection{一般周期信号的傅里叶变换} -\begin{BoxProperty}[一般周期信号的傅里叶变换] +\begin{BoxProperty}[一般周期信号的傅里叶变换]* 对于一般的周期信号，由\xref{ppt:傅里叶变换的频移性质}，满足 \begin{Equation} f_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{\mathrm{j}n\omega t} \longleftrightarrow F_T(\mathrm{j}\omega) = 2\pi \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} F_n \delta(\omega-n\Omega) @@ -61,5 +61,5 @@ \subsection{傅里叶系数与傅里叶变换关系} \begin{Equation} F_n = \left.\frac{1}{T} F_0(\mathrm{j}\omega)\right|_{\omega = n\Omega} \end{Equation} - + \end{BoxFormula} \ No newline at end of file diff --git a/Chapter04H.tex b/Chapter04H.tex index 5807b78..4edd19e 100644 --- a/Chapter04H.tex +++ b/Chapter04H.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \section{LTI系统的频域分析} \subsection[虚指数函数作用于LTI系统的响应]{虚指数函数$e^{j\omega t}$作用于LTI系统的响应} -\begin{BoxDefinition}[频率响应函数] +\begin{BoxDefinition}[频率响应函数]* 设LTI系统的冲激响应为$h(t)$，当激励为$e^{\mathrm{j}\omega t}$\footnote{幅度为1的虚指数函数}时，其零状态响应为 \begin{Equation} y(t) = h(t)*e^{\mathrm{j}\omega t} = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)e^{\mathrm{j}\omega(t-\tau)}d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-\mathrm{j}\omega \tau} d\tau \cdot e^{\mathrm{j}\omega t} @@ -16,7 +16,7 @@ \section{LTI系统的频域分析} \subsection{一般信号\texorpdfstring{$f(t)$}作用于LTI系统的响应} -\begin{BoxProperty}[傅里叶变换频域分析法] +\begin{BoxProperty}[傅里叶变换频域分析法]* 由LTI系统的齐次性和可加性可知，一般信号$f(t)$作用于系统的时候，响应满足 \begin{Equation} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\mathrm{j}\omega) e^{\mathrm{j}\omega t}d\omega \longleftrightarrow \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} H(\mathrm{j}\omega)F(\mathrm{j}\omega) e^{\mathrm{j}\omega t} d\omega @@ -40,7 +40,7 @@ \subsection{一般信号\texorpdfstring{$f(t)$}作用于LTI系统的响应} $|H(\mathrm{j}\omega)|$是$\omega$的偶函数，$\theta(\omega)$是$\omega$的奇函数。 \end{BoxProperty} -\begin{BoxProperty}[指数形式傅里叶级数频域分析法] +\begin{BoxProperty}[指数形式傅里叶级数频域分析法]* 设LTI系统的激励为$f_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} F_ne^{\mathrm{j}n\Omega t}$，则响应 \begin{Equation} y(t) = h(t) * f_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} F_n\left[h(t) * e^{\mathrm{j}n\Omega t}\right] = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} F_n H(\mathrm{j}\omega)e^{\mathrm{j}n\Omega t} @@ -56,7 +56,7 @@ \subsection{一般信号\texorpdfstring{$f(t)$}作用于LTI系统的响应} \end{BoxProperty} -\begin{BoxProperty}[三角函数形式傅里叶级数频域分析法] +\begin{BoxProperty}[三角函数形式傅里叶级数频域分析法]* 设LTI系统的激励为$f_T(t) = \frac{A_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n\cos(n\Omega t + \varphi_n)$，频率响应函数为$H(\mathrm{j}\omega) = |H(\mathrm{j}\omega)|e^{\mathrm{j}\theta(\omega)}$则响应 \begin{Equation} y(t) = \frac{A_0}{2}H(0) + \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n|H(\mathrm{j}n\Omega)| \cos\left[n\Omega t + \varphi_n + \theta(\omega)\right] @@ -65,7 +65,7 @@ \subsection{一般信号\texorpdfstring{$f(t)$}作用于LTI系统的响应} \subsection[频率响应的求法]{频率响应$H(j\omega)$的求法} -\begin{BoxProperty}[已知微分方程求解频率响应] +\begin{BoxProperty}[已知微分方程求解频率响应]* 方程两边同时取傅里叶变换，可得$H(\mathrm{j}\omega)$关于$Y(\mathrm{j}\omega)$和$F(\mathrm{j}\omega)$的方程。 移项即可得$H(\mathrm{j}\omega) = \frac{Y(\mathrm{j}\omega)}{F(\mathrm{j}\omega)}$ @@ -73,7 +73,7 @@ \subsection{一般信号\texorpdfstring{$f(t)$}作用于LTI系统的响应} 根据$Y(\mathrm{j}\omega) = H(\mathrm{j}\omega)F(\mathrm{j}\omega)$可以进一步求响应$y(t)$。 \end{BoxProperty} -\begin{BoxProperty}[已知电路求解频率响应] +\begin{BoxProperty}[已知电路求解频率响应]* 根据电路列出$H(\mathrm{j}\omega) = \frac{Y(\mathrm{j}\omega)}{F(\mathrm{j}\omega)}$，标出电路各元件的阻抗即可根据各回路列方程解得所需比值。 电感元件阻抗$\mathrm{j}\omega L$，电容元件阻抗$\frac{1}{\mathrm{j}\omega C}$，电阻元件阻抗$R$。 @@ -81,7 +81,7 @@ \subsection{一般信号\texorpdfstring{$f(t)$}作用于LTI系统的响应} \subsection{无失真传输与滤波} -\begin{BoxDefinition}[无失真传输] +\begin{BoxDefinition}[无失真传输]* 无失真传输是指输出信号和输入信号相比，信号只有幅度的大小和出现的时间先后不同，没有波形上的变化。设输入信号为$f(t)$，即满足 \begin{Equation} y(t) = Kf(t-t_d) @@ -115,7 +115,7 @@ \subsection{无失真传输与滤波} \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[失真相关概念] +\begin{BoxDefinition}[失真相关概念]* 幅度失真是指各频率分量幅度产生不同程度衰减。 相位失真是指各频率分量产生的相移不与频率成正比，使各频率分量在时间轴上的相对位置发生变化。 @@ -125,7 +125,7 @@ \subsection{无失真传输与滤波} 非线性失真是指产生新的频率成分的失真。 \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[理想低通滤波器] +\begin{BoxDefinition}[理想低通滤波器]* 具有如下图所示的幅频相频特性的系统称为理想低通滤波器。 \begin{Figure}[理想低通滤波器幅频相频特性] \includegraphics[width=30mm]{visio/4.12.pdf} @@ -170,7 +170,7 @@ \subsection{无失真传输与滤波} 显然，只要$\omega_c<\infty$，必有振荡，该由频率截断效应引起的振荡称为吉布斯现象。 \end{BoxDefinition} -\begin{BoxProperty}[物理可实现系统条件] +\begin{BoxProperty}[物理可实现系统条件]* 从时域特性上来说，物理可实现系统的冲激响应满足 \begin{Equation} h(t)=0,\quad t<0 diff --git a/Chapter05A.tex b/Chapter05A.tex index ad2cc3a..549bf44 100644 --- a/Chapter05A.tex +++ b/Chapter05A.tex @@ -55,7 +55,7 @@ \subsection{收敛域} \end{Figure} \end{BoxFormula} -\begin{BoxFormula}[指数函数反因果信号的拉普拉斯变换] +\begin{BoxFormula}[指数函数反因果信号的拉普拉斯变换]* 指数函数反因果信号 \begin{Equation} f(t) = e^{\beta t}\varepsilon(-t) @@ -100,7 +100,7 @@ \subsection{收敛域} \subsection{单边拉氏变换} -\begin{BoxDefinition}[单边拉普拉斯变换] +\begin{BoxDefinition}[单边拉普拉斯变换]* 设信号的初始时刻为坐标原点，此时在$t<0$时$f(t)=0$，拉普拉斯变换为 \begin{Equation} F(s) = \int_{0_{-}}^{\infty} f(t)e^{-st}dt diff --git a/Chapter05B.tex b/Chapter05B.tex index e485c9e..7800087 100644 --- a/Chapter05B.tex +++ b/Chapter05B.tex @@ -41,7 +41,7 @@ \subsection{拉氏变换的复频移特性} \subsection{拉氏变换的时域的微分特性} -\begin{BoxTheorem}[拉普拉斯变换的微分定理] +\begin{BoxTheorem}[拉普拉斯变换的微分定理]* 若$f(t)\longleftrightarrow F(s)\quad\mathrm{Re}\left[s\right]>\sigma_0$，则 \begin{Equation} f'(t)\longleftrightarrow sF(s)-f(0_{-}) @@ -58,7 +58,7 @@ \subsection{拉氏变换的时域的微分特性} \subsection{拉氏变换的时域积分特性} -\begin{BoxTheorem}[拉普拉斯变换的积分定理] +\begin{BoxTheorem}[拉普拉斯变换的积分定理]* 若$\mathscr{L}\left[f(t)\right]= F(s)$，则 \begin{Equation} \mathscr{L}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\right] = \frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0_{-})}{s} @@ -75,14 +75,14 @@ \subsection{拉氏变换的时域积分特性} \subsection{拉氏变换的卷积定理} -\begin{BoxTheorem}[拉普拉斯变换的时域卷积定理] +\begin{BoxTheorem}[拉普拉斯变换的时域卷积定理]* 若因果函数$f_1(t)\longleftrightarrow F_1(s)\quad \mathrm{Re}\left[s\right]>\sigma_1$， $f_2(t)\longleftrightarrow F_2(s) \quad \mathrm{Re}\left[s\right]>\sigma_2$，则 \begin{Equation} f_1(t)*f_2(t) \longleftrightarrow F_1(s)F_2(s) \end{Equation} \end{BoxTheorem} -\begin{BoxTheorem}[拉普拉斯变换的复频域卷积定理] +\begin{BoxTheorem}[拉普拉斯变换的复频域卷积定理]* 若因果函数$f_1(t)\longleftrightarrow F_1(s)\quad \mathrm{Re}\left[s\right]>\sigma_1$， $f_2(t)\longleftrightarrow F_2(s) \quad \mathrm{Re}\left[s\right]>\sigma_2$，则 \begin{Equation} f_1(t)f_2(t)\longleftrightarrow\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\int_{c-\mathrm{j}\infty}^{c+\mathrm{j}\infty} F_1(\eta)F_2(s-\eta)d\eta @@ -91,7 +91,7 @@ \subsection{拉氏变换的卷积定理} \subsection{s域微分和积分定理} -\begin{BoxTheorem}[s域微分和积分定理] +\begin{BoxTheorem}[s域微分和积分定理]* 若$f(t)\longleftrightarrow F(s)$，$\mathrm{Re}\left[s\right]>\sigma_0$，则 \begin{Equation} (-t)^{n}f(t)\longleftrightarrow\frac{d^{n}F(s)}{ds} diff --git a/Chapter05C.tex b/Chapter05C.tex index bed799e..d8537ad 100644 --- a/Chapter05C.tex +++ b/Chapter05C.tex @@ -59,7 +59,7 @@ \subsection{拉氏逆变换的过程} \end{Equation} \end{BoxFormula} -\begin{BoxFormula}[共轭复数极点的逆变换] +\begin{BoxFormula}[共轭复数极点的逆变换]* 极点为共轭复数时，象函数可化为 \begin{Equation} F(s) = \frac{B(s)}{A_1(s)\left[(s+\alpha)^2+\beta^2\right]} = \frac{F_1(s)}{(s+\alpha-\mathrm{j}\beta)(s+\alpha+\mathrm{j}\beta)} @@ -95,7 +95,7 @@ \subsection{拉氏逆变换的过程} \end{Equation} \end{BoxFormula} -\begin{BoxFormula}[极点含重根的逆变换] +\begin{BoxFormula}[极点含重根的逆变换]* 对于重根的部分 \begin{Equation} \frac{F_1(s)}{(s-p_1)^k} = \frac{K_{11}}{(s-p_1)^k}+ \frac{K_{12}}{(s-p_1)^{k-1}}+\dots+\frac{K_{1(k-1)}}{(s-p_1)^2}+\frac{K_{1k}}{s-p_1} diff --git a/Chapter05D.tex b/Chapter05D.tex index 62cc215..85ed145 100644 --- a/Chapter05D.tex +++ b/Chapter05D.tex @@ -25,7 +25,7 @@ \subsection{微分方程的变换解} \subsection{系统函数} -\begin{BoxDefinition}[系统函数] +\begin{BoxDefinition}[系统函数]* 定义系统函数 \begin{Equation} H(s) = \frac{Y_{zs}(s)}{F(s)} = \frac{B(s)}{A(s)} @@ -76,7 +76,7 @@ \subsection{电路的s域模型} \end{Equation} \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[电感元件的s域模型] +\begin{BoxDefinition}[电感元件的s域模型]* \begin{Figure}[电感元件的s域模型] \includegraphics[width=70mm]{visio/5.6.pdf} \end{Figure} @@ -90,7 +90,7 @@ \subsection{电路的s域模型} \end{Equation} \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[电容元件的s域模型] +\begin{BoxDefinition}[电容元件的s域模型]* \begin{Figure}[电容元件的s域模型] \includegraphics[width=70mm]{visio/5.7.pdf} \end{Figure} diff --git a/Chapter07A.tex b/Chapter07A.tex index 011b45a..5da9fc2 100644 --- a/Chapter07A.tex +++ b/Chapter07A.tex @@ -25,7 +25,7 @@ \subsection{系统函数的零、极点分布图} \subsection[系统函数与系统的因果性]{系统函数$H(\cdot)$与系统的因果性} -\begin{BoxDefinition}[系统的因果性] +\begin{BoxDefinition}[系统的因果性]* 因果系统是指系统的零状态响应$y_{zs}(\cdot)$不会出现于$f(\cdot)$之前的系统。 连续因果系统的充分必要条件是冲激响应满足 @@ -45,7 +45,7 @@ \subsection{系统函数的零、极点分布图} $H(s)$的极点在$s$平面上的位置可分为极点在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 -\begin{BoxProperty}[极点在左半开平面的连续因果系统的时域响应] +\begin{BoxProperty}[极点在左半开平面的连续因果系统的时域响应]* 极点在左半开平面时，若系统函数有负实单极点$p=-\alpha(\alpha>0)$，则$A(s)$中有因子$(s+\alpha)$，其所对应的响应函数为 \begin{Equation} h_1(t) = Ke^{-\alpha t}\varepsilon(t) @@ -65,7 +65,7 @@ \subsection{系统函数的零、极点分布图} 以上三种情况在$t\rightarrow \infty$时，响应均趋于$0$，为暂态分量，该系统稳定。 \end{BoxProperty} -\begin{BoxProperty}[极点在虚轴上的连续因果系统的时域响应] +\begin{BoxProperty}[极点在虚轴上的连续因果系统的时域响应]* 极点在虚轴上时，若系统函数有负实单极点$p=0$或$p_{12}=\pm\mathrm{j}\beta$，则响应函数为 \begin{Equation} h_1(t) = K\varepsilon(t) @@ -87,7 +87,7 @@ \subsection{系统函数的零、极点分布图} 此时响应为递增函数，对应系统不稳定。 \end{BoxProperty} -\begin{BoxProperty}[极点在右半开平面的连续因果系统的时域响应] +\begin{BoxProperty}[极点在右半开平面的连续因果系统的时域响应]* 极点在右半开平面时，其对应的响应函数都是递增的，系统不稳定。 \end{BoxProperty} @@ -95,12 +95,12 @@ \subsection{系统函数的零、极点分布图} \subsection{系统函数与频率响应} -\begin{BoxDefinition}[全通函数] +\begin{BoxDefinition}[全通函数]* 若系统的幅频响应$|H(\mathrm{j}\omega)|$为常数，则称为全通系统，其相应的$H(s)$称为全通函数。 凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点相对于虚轴一一镜像对称的系统函数$H(s)$即为全通函数。 \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[最小相移函数] +\begin{BoxDefinition}[最小相移函数]* 对于有相同幅频特性的系统函数而言，右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。 \end{BoxDefinition} \ No newline at end of file diff --git a/Chapter07B.tex b/Chapter07B.tex index 2be79b9..9eb8d05 100644 --- a/Chapter07B.tex +++ b/Chapter07B.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \section{系统的稳定性} \subsection{稳定系统的的定义} -\begin{BoxDefinition}[系统的稳定性] +\begin{BoxDefinition}[系统的稳定性]* 一个系统若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出（BIBO\footnote{Bound Input Bound Output}）稳定的系统，简称为稳定系统。 即若系统对所有激励$|f(\cdot)|\leq M_f$，其零状态响应$|y_{zs}(\cdot)|\leq M_y$（$M$为有限常数），则称系统稳定。 @@ -10,7 +10,7 @@ \subsection{稳定系统的的定义} \subsection{连续稳定系统的充分必要条件} -\begin{BoxTheorem}[连续稳定系统的充分必要条件] +\begin{BoxTheorem}[连续稳定系统的充分必要条件]* 连续稳定系统的充分必要条件中，时域条件为 \begin{Equation} \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|dt\leq M diff --git a/Chapter07C.tex b/Chapter07C.tex index fbe6138..07e1bb6 100644 --- a/Chapter07C.tex +++ b/Chapter07C.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \subsection{信号流图} 信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。可以简化系统的表示并便于计算系统函数。 \end{BoxDefinition} -\begin{BoxDefinition}[信号流图的常用术语] +\begin{BoxDefinition}[信号流图的常用术语]* 结点表示系统中的变量或信号的点。 连接两个结点之间的有向线段称为支路，支路上的权值又称支路增益，是两结点间的系统函数（转移函数）。 diff --git a/Chapter07D.tex b/Chapter07D.tex index db88c13..eb5278b 100644 --- a/Chapter07D.tex +++ b/Chapter07D.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \section{系统的结构} \subsection{直接实现} -\begin{BoxProperty}[通过梅森公式直接实现构造信号流图] +\begin{BoxProperty}[通过梅森公式直接实现构造信号流图]* 将系统函数化为以下形式 \begin{Equation} H(s) = \frac{b_ms^{-(n-m)}+b_{m-1}s^{-(n-m+1)}+\dots+b_0s^{-n}}{1-(-a_{n-1}s^{-1}-a_{n-2}s^{-2}-\dots-a_0s^{-n})} @@ -16,7 +16,7 @@ \subsection{直接实现} \subsection{级联实现} -\begin{BoxProperty}[级联实现构造信号流图] +\begin{BoxProperty}[级联实现构造信号流图]* 将$H$分解为若干一阶或二阶的系统函数的乘积，即 \begin{Equation} H = H_1H_2\dots H_n @@ -35,7 +35,7 @@ \subsection{级联实现} \subsection{并联实现} -\begin{BoxProperty}[并联实现构造信号流图] +\begin{BoxProperty}[并联实现构造信号流图]* 将$H$展开为部分分式，将每个分式分别作为支路增益，再将各支路并联。 即将$H$化为以下形式再构造 diff --git a/Reference.tex b/Reference.tex index c5db8fd..399ef4e 100644 --- a/Reference.tex +++ b/Reference.tex @@ -1,4 +1,4 @@ \begin{thebibliography}{99}% \bibitem{1} 吴大正,杨林耀,张永瑞,王松林,郭宝龙. 信号与线性系统分析[M]. 5版. 北京: 高等教育出版社, 2019. - \bibitem{2} MR\_Promethus. 信号流图、梅森公式、系统结构[OL]. https://blog.csdn.net/qq\_44431690/article/details/107121049, 2020-07-04/2024-06-06. + \bibitem{2} MR\_Promethus. 信号流图、梅森公式、系统结构[OL]. (2020-07-04)[2024-06-06]. \\\url{https://blog.csdn.net/qq_44431690/article/details/107121049} \end{thebibliography}