mathstat.org

Задача 4.11

$$X_1 = -0.114$$ $$X_2 = 0.196$$ $$H_0: X_i ∼ R[-0.5, 0.5]$$ $$H_1: X_i ∼ N(0, 0,009)$$ $$α = 0.1$$ Критерий - ?

$$L_0 = \frac{1}1\mathbb{1}(min X_i \geq -0.5)\mathbb{1}(max X_i \leq 0.5)$$ $$L_1 = \frac{1}{2π 0.009}exp\left(-\frac{1}{2(0.009)^2(X_1^2+X_2^2)}\right)$$ \begin{equation*} φ^*(\mathbb{X}) = \begin{cases} 1, \frac{L_1}{L_0} \geq 0.5
0, \frac{L_1}{L_0} \leq 0.5 \end{cases} ⇔ φ^*(\mathbb{X}) = \begin{cases} 1, max |X_i| > 0.5\ 0, max |X_i| \leq 0.5 \end{cases} \end{equation*} $$\mathbb{E}_{H_0} = 1\mathbb{P}{(X_1^2 + X_2^2 \leq C_α)} = α ⇒ C_α = \frac{α}{π} ≈ 0.0031$$ $$X_1^2 + X_2^2 = 0.0514 > 0.031$$ Таким образом, гипотезу нужно принять.

Задача 2

Найти характеристическую функцию распределения Коши: $$ξ ∼ ρ(x) = \frac{1}{π(1 + x^2)}$$

\begin{multline*} \varphi(t, ξ) = \mathbb{E}e^itξ = ∫_-∞^∞\frac{1}{π(1+x^2)}e^itxdx =
= lim_{R → ∞}\oint_{γ_R}\frac{1}{π(1+z^2)}e^itzdz = 2π i\, res_z=i f(z) = \ = 2π i lim_z=i\frac{1}{π(1+i)}e^itz = e^-t \end{multline*} С учётом чётности характеристической функции получим $$\varphi(t, ξ) = e^-|t|$$

Пусть теперь $ξ_1, \ldots, ξ_n ∼ ρ(x)$. Найти распределение $\frac{∑_{i = 1}^nξ}{n}$. \begin{multline*} \varphi(t, \frac{ξ_1 + \ldots + ξ_n}{n}) = \mathbb{E}exp{it\frac{∑_{i = 1}^nξ_n}{n}} = \ldots = e^-|t| \end{multline*}

Задача 3

Есть выборка из распределения Рэлея: $$F(x, θ) = 1 - e^{-\left(\frac{x}{\sqrt\theta}\right)^2}, x \geq -, θ > 0$$ Найти оценку максимального правдоподобия и её свойства. Найдём распределение $X_i$:

Функция правдоподобия: $$L(x, θ) = ∏_{i = 1}^n2e^{-\frac{X_i^2}{θ}}\frac{X_i}{θ} = 2^n∏_{i = 1}^n{X_i}\frac{e^-\frac{1θ\sum_{i = 1}^n{X_i^2}}}{θ^n}$$ Откуда получаем, что $T(\mathbb{X}) = (∑_{i = 1}^nX_i)^2$ - достаточная оценка. По критерию факторизации, она является полной. Оценка максимального правдоподобия - $θ = \frac{∑_{i = 1}^nX_i^2}n$ Несмещённость оценки: $$\mathbb{E}(θ) = \frac{1}n∑_{i = 1}^n\mathbb{E}X_i^2 = \mathbb{E}X_i^2 = \ldots = θ$$ Из доказанного и закона больших чисел следует, что оценка также является состоятельной. Оценка является эффективной как функция достаточной статистики.

Задача 4

Дана выборка из логистического распределения: $$ρ(x, θ) = \frac{e^{-x + θ}}{(1 + e^{-x + θ})^2}$$ Плотность распределения симметрична относительно $θ$, поэтому $\mathbb{E}X_i = θ$, что и означает несмещённость и состоятельность.