函数
该极限称为函数在点
左导数：$\displaystyle f_{-}'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
右导数：$\displaystyle f_{+}'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
$f'(x),存在\Leftrightarrow f_{-}'(x_{0})=f_{+}’(x_{0})$
若极限不存在，则称函数
-
曲线上每一点处都有切线，导数是切线的斜率。
-
曲线
$y=f(x)$ 在点$P(x_{0},f(x_{0}))$ 处的切线方程$y$ 为：
- 法线的斜率：
- 法线方程
$y$ 为： $$ y-f(x_{0}) = -\frac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0}),,,,,,(f'(x_{0})\neq 0) $$
当
$f'(x_{0}) = 0$ 时，切线方程：
$y=f(x_{0})$ （水平）法线方程：$x=x_{0}$ （铅直）
当
$f'(x_{0})=\infty$ 时，切线方程：$x=x_{0}$ （铅直）
法线方程：$y=f(x_{0})$（水平）
导数符号：
$$
\begin{align}
&y=f(x)\
{f}'(x),,,,,,,,&{y}',,,,,,,,\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{align}
$$
某一点
导数是一种特定的极限形式
若函数在一点可导，则它在该点一定连续；
若函数不连续，则一定不可导；
若函数连续，则不一定可导。
函数
$y = f(x)$ 在点$x_{0}$ 处可导$\displaystyle\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 极限存在
函数
$y = f(x)$ 在点$x_{0}$ 处连续$\displaystyle\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\rightarrow0}\Delta y=0$
当
\end{align}\ $$
设函数
注意：
$\frac{u'}{v'}\neq(\frac{u}{v})'$
若
设函数
注意：
$[f(\varphi(x))]'\neq f'(\varphi(x))$
$[f(\varphi(x))]'=f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$
$f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$ 不是复合函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
周期函数的导数仍然是周期函数，且周期相同。
分段点处一般使用定义求导，满足特殊条件时可采用公式求导： $$ \begin{align} &f(x)= \left{\begin{matrix} & g(x), x<x_{0}\ & f(x_{0}),x=x_{0}\ & h(x),x>x_{0} \end{matrix}\right. \ \ \ &若,,f(x),,在,,x=x_{0} ,,处连续:\ &\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}g(x)= \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}h(x)=f(x_{0}) \ \ &则:\ &f_{-}'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}g'(x)\ &f_{+}'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}h'(x)\ \end{align} $$
-
单侧导数：
设函数
$f(x)$ 再$(a, x_{0}]$ 上连续，再$(a,x_{0})$ 内可导，且极限$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f'(x)$ 存在，则左导数$f_{-}'(x_{0})$ 存在，且$\displaystyle f_{-}'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}} f'(x)$
注意：没有函数的连续性，用公式求分段点的导数可能导致严重的错误
隐函数 （implicit functions）：由隐式方程所隐含定义的函数。
$$
F(x,y)=0,,\rightarrow,, y=y(x)
$$
如：
隐函数只是表示函数的一种方式，隐函数远远多于显函数，因为每一个显函数都可以写成隐函数，但是隐函数不一定能写成显函数。
-
隐函数的求导方法：方程
$f(x,y)=0$ 两端对自变量$x$ 求导，将式子中的 y 视为函数 y(x) （凡是$y$ 的函数都要视为$x$ 的复合函数）然后解出导数$\frac{dy}{dx}$ 即可。例如: $$ 设方程,,,, x^{2}+y^{2}=1 ,,,确定了函数,,,y=y(x),,,,求导数,,, \frac{dy}{dx}。\ (x^{2}+y^{2})'=(1)'\ (x^{2})'+(y^{2})'=0\ 2x+2y\cdot y'=0\ y'=-\frac{x}{y} $$
（1）由参数方程确定的曲线：
$$
\left{\begin{matrix}
x=\varphi(t)\
y=\psi(t)
\end{matrix}\right.
\Rightarrow(x,y)=(\varphi(t),\psi(t))
$$
当
（2）由参数方程确定的函数:
$$
\begin{align}
&\left{\begin{matrix}
x=\varphi(t)\
y=\psi(t)
\end{matrix}\right.
\Rightarrow y=y(x)
\\
x=\varphi(t)&\Rightarrow t=\varphi^{-1}(x)\\
&\Rightarrow y=\psi(t)=\psi[\varphi^{-1}(x)]=y(x)
\end{align}
$$
不管能否由
参数方程是表示函数的又一种方式，参数方程给我们提供了描绘曲线的便利，每一个显函数都可以写成参数方程的形式。
（3）由参数方程确定的函数的导数
使用链式法则和反函数的求导法则
将参数
（4）参数方程的切线和法线
曲线在点
- 切线斜率
$k_{切}=\frac{y'(t_{0})}{x'(t_{0})}$ ，
切线方程：
- 法线斜率
$k_{法}=-\frac{x'(t_{0})}{y'(t_{0})}$
法线方程：
- 切向量：
$\tau=(x'(t_{0}),y'(t_{0}))$ - 法向量：$\eta=(-y'(t_{0}),x'(t_{0}))$
（5）一些参数方程的题涉及到的知识点
位矢：$r(t)={x(t),y(t}$
速度：$v(t)=\frac{dr}{dt}={x'(t),y'(t)}$
加速度：$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}={x''(t),y''(t)}$
速率：$u(t)=|v(t)|=\sqrt{[x'(t)]^{2} + [y'(t)]^{2}}$
多项式函数在整个实数域内连续可导。
设变量
利用链式法则将方程
如果已知其中一个变化率，由此等式可求出与之相关的另一个变化率，这就是所谓的相关变化率（related rates）问题。
解决相关变化率问题，首先要建立这两个相关变量的一个等式，然后对时间求导，找到相关变化率的关系。
例如：滑梯模型
一个长度为 10 米的梯子斜靠在纯质的墙上。若梯子下端以 3 m/s 的速度离开墙壁，问当梯子下端距离墙壁 6 米时，梯子上端向下滑动的速度是多少？
解 设梯子下端距离墙壁
$x$ 米，上端距离地面$h$ 米，$x$ 和$h$ 均为时间的函数。已知$\frac{dx}{dt}=3$ （米/秒），欲求$x=6$ （米）时的$\frac{dh}{dt}$ 值。由勾股定理：
$x^{2}+h^{2}=10^{2}$ 等式两边对时间
$t$ 求导： $$ \begin{align} (x^{2}+h^{2}){t}'&=(10^{2}){t}'\ 2x\frac{dx}{dt}+2h\frac{dh}{dt}&=0\ \frac{dh}{dt}&=-\frac{x}{h}\cdot\frac{dx}{dt}\将\frac{dx}{dt}=3,&x=6,h=8,代入，得\ \frac{dh}{dt}&=-\frac{9}{4}（米/秒）
\end{align} $$
$$ \begin{align}
(x^{n})^{(n)}&=n!\ \ (a^{x})^{(n)}&=(\ln a)^{n}a^{x}\ (a^{kx})^{(n)}&=(k\ln a)^{n}a^{kx}\ (e^{x})^{(n)}&=e^{x}\ (xe^{x})^{(n)}&=e^{x}(x+n)\ \ (sinx)^{(n)}&=sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})\ (cosx)^{(n)}&=cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2})\ [sin(ax+b)]^{(n)}&=sin(ax+b+n\cdot\frac{\pi}{2})\cdot a^{n}\ [cos(ax+b)]^{(n)}&=cos(ax+b+n\cdot\frac{\pi}{2})\cdot a^{n}\ \ (\frac{1}{ax+b})^{(n)}&=(-1)^{n}\frac{a^{n}n!}{(ax+b)^{n+1}}\ (\frac{1}{x+1})^{(n)}&=(-1)^{n}\frac{n!}{(x+1)^{n+1}}\ (\frac{a}{x+1})^{(n)}&=(-1)^{n}\frac{n!}{(x+1)^{n+1}}\cdot a\ (\frac{1}{x})^{(n)}&=(-1)^{n}\frac{n!}{x^{n+1}}\ [\ln(1+x)]^{(n)}&=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+1)^{n}} \end{align} $$
$$ \begin{align} (u\pm v)^{(n)}&=u^{(n)}\pm v^{(n)}\ (C\cdot u)^{(n)}&=C\cdot u^{(n)}\ \ 莱布尼茨公式:(uv)^{(n)}&=\sum^{n}_{k=0}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v^{(k)}\
- 类比二项展开式: (u+v)^{n}&=\sum^{n}_{k=0}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}u^{n-k}v^{k}
\end{align} $$
函数
$$
\begin{align}
\frac{dx}{dy} &=\frac{1}{y'}\
\frac{d^{2}x}{dy^{2}}&=\frac{d}{d{\color{red}x}}(\frac{1}{y'})\cdot\frac{d{\color{red}x}}{dy}=\frac{(\frac{1}{y'}){x}'}{y'}=-\frac{y''}{(y')^{3}}\
\frac{d^{3}x}{dy^{3}}&=\frac{d}{d{\color{red}x}}(-\frac{y''}{(y')^{3}})\cdot\frac{d{\color{red}x}}{dy}=\frac{(-\frac{y''}{(y')^{3}}){x}'}{y'}=\frac{3(y'')^{2}-y'y'''}{(y')^{5}}
\end{align}
$$
上一阶导数对
先求一阶导数，一阶导数是一个有 x、y 构成的等式，然后在对一阶导数等式求导，得出二阶导数，二阶导数等式 x、y、y'，将之前得到的一阶导数等式带入二阶导数，等到最终由 x、y 构成的二阶导数等式，以此类推。
- 二阶导数：
将一阶导数对 t 求导，再除以 x 对 t 的导数。
-
三阶导数：
做法类似 $$ \frac{d^{3}y}{dx^{3}}=\frac{[\frac{d^{2}y}{dx^{2}}]_{t}'}{x'(t)} $$ 将二阶阶导数对 t 求导，再除以 x 对 t 的导数。
-
综上所述，参数方程确定的函数的高阶导数求导方法：
上一阶导数对 t 求导，再除以
$x'(t)$ 就是下一阶导数。
一般来说，习题里面对参数方程求导不会超过三阶。
（1）幂指函数 $$ \begin{align} & y = u(x)^{v(x)}\ 取对数：&\ln y=\ln u^{v}\ 求导数：&\frac{1}{y}y'=v'\ln u+v\cdot\frac{1}{u}\cdot u'\ 得出,：&y'=u^{v}(v'\ln u +\frac{vu'}{u}) \end{align} $$
（2）含较多乘积因子的函数的导数 $$ \begin{align} & y = \sqrt[3]{\frac{(x-1)(x-2)^{2}}{x-4}}\\ 取对数：\ln y&=\ln \sqrt[3]{\frac{(x-1)(x-2)^{2}}{x-4}}\\ &=\frac{1}{3}\ln\frac{(x-1)(x-2)^{2}}{x-4} \ &=\frac{1}{3}[\ln(x-1)+2ln(x-2)-\ln(x-4)] \\ 求导数：&\frac{1}{y}y'=\frac{1}{3}(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-4}) \\ 得出,：&y'=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{(x-1)(x-2)^{2}}{x-4}}(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-4}) \end{align} $$
这种题的结果总是一大堆，一般来说，可以不用再同分化简整理
（1）幂指函数 $$ \begin{align} (u^{v})'&=(e^{v\ln u})'\ &= e^{v\ln u}(v\ln u)'\ &=u^{v}(v'\ln u+\frac{vu'}{u}) \end{align} $$
（2）含较多乘积因子的函数的导数
同理对数求导法
设在 一点
如果
其中
并将线性主部
dy&=f'(x)dx\ \end{align} $$
函数在一点可微
导数就是微分之商： 微商
-
函数的局部线性化
由于
$dy\approx \Delta y$ ，用局部用切线代替曲线，也称为函数的线性近似。线性近似公式：$f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
特殊情况，$x_{0}=0$ 时：$f(x)\approx f(0)+f'(0)x$，$|x|$ 趋于 0。
例如：
$f(x)=sinx,, sinx\approx sin0 +cos0\cdot 0$ $sinx\approx x$ ，$x$ 用弧度来表示 -
$\Delta y$ 和$dy$ 的比较
每一个导数公式，都对应着一个微分公式： $$ y'=f'(x)\Rightarrow dy=f'(x)dx $$
| 导数公式 | 微分公式 |
|---|---|
| 求导法则 | 微分法则 | |
|---|---|---|
| 和 | ||
| 差 | ||
| 积 | ||
| 商 |
复核函数的微分：微分形式不变性
$$ \begin{align} & y=f(u),,,,u=g(x)\Rightarrow y=f[g(x)]\ \ & \frac{dy}{dx}=f'(u)u'\ \ &\because u'dx=du\ \ &\therefore dy=f'(u)u'=f'(u)du
\end{align}
$$
从我曾向内层逐层微分，直到
用微分法求隐函数的导数是一种好方法。
隐函数求微分时，我们不必考虑谁是自变量，谁是因变量（x，y 地位平等）。
而求导数时，我们必须将
例： $$ \begin{align} x&=\ln y \ \ \textbf{微分}：\ dx&=d(\ln y)\ &=\frac{1}{y}dy\ \therefore dy&=y\cdot dx\ \ \textbf{求导}：\ (x)'&=(\ln y)'\ 1&=\frac{1}{y}\cdot y'\ \therefore y'&=y
\end{align} $$
已知一个微分，求问是哪一个函数的微分，凑微分是不定积分的基本功。
某商品的需求量是指在一定的价格水平上，在一定的时间内，消费者愿意而且有能力购买的商品量。
忽略其他次要因素，我们可以认为商品的需求量
一般地，需求商品价格上涨会使需求量减少，因此需求函数一般是价格
- 价格函数
需求函数的反函数也称为需求函数。(需求决定价格，所以也称为价格函数)
-
饱和需求量
当价格 P = 0 时，此时的需求量称为饱和需求量。
某商品的供给量是指在一定的价格水平上，在一定的时间内，生产者愿意生产并可提供出售的商品量。
忽略其他次要因素，我们可以认为水上漂的供给量
一般地，商品的价格上涨，生产者就更愿意生产并向时长提供更多的商品，
因此供给函数一般是几个
-
均衡价格、均衡数量
当供给量和需求量相等
$Q_{d}=Q_{s}$ 时，所得的$P$ 称为商品的均衡价格，此时的供给量和需求量称为均衡数量。寻求君合价格是金融经济学的主要问题之一。
总成本是指生产一定数量的产品所需要的总投入。
总收益是出售一定数量的产品所得到的全部收入。
总利润是总收益减去总成本后的余额。
若产品价格为
总成本、总收益和总利润都与产品的产量或销量
总成本函数：$C=C(Q)$
总收益函数：$R=R(Q)=QP$(Q)
总利润函数：$L=L(Q)=R(Q)-C(Q)$
平均成本：$\bar{C}=\frac{C(Q)}{Q}$
平均收益：$\bar{R}=\frac{R(Q)}{Q}=P$
平均利润：$\bar{L}=\frac{L(Q)}{Q}$
通常，总成本由固定成本（不变成本）
固定成本是指支付固定生产要素的费用，如建厂房、购置设备等费用，它与产量
可变成本是指支付可变生产要素的费用，如购买原材料、燃料、支付工资等费用，它随产量
于是有
总成本
一般地，设
简而言之，边际函数就是导数。
函数的边际（导数，变化率）反映的是自变量改变 1 个单位时，因变量会改变几个单位（改变边际个单位）。
总成本函数
表示已经生产了
总收益函数
总利润函数
如果说边际是函数的变化率，那么弹性则是函数的相对变化率。
设函数
当
可导函数
反映了随着
具体的说，
-
边际与弹性 $$ \frac{Ey}{Ex}=\frac{dy}{dx}\frac{x}{y}=\frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{y}{x}}=\frac{边际函数}{平均函数} $$ 所以弹性函数在经济学中可以理解为边际函数与平均函数的商。 $$ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\frac{Ey}{Ex} $$ 边际=平均x弹性
-
不变弹性函数
幂函数
$y=x^{\mu}$ 的弹性函数为$\mu$ ，即任意点处弹性不变，称为不变弹性函数。
由 (1) 可知，弹性没有线性性质：$\frac{E}{Ex}[kf(x)]\neq k\frac{E}{Ex}f(x)$