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Points - Refait à partir du compte rendu (Poustouflan)

Deux autres points A et B sont présents sur une courbe elliptique d’équation $$(E) : y2 = x3 + ax + b[p]$$

Dans le fichier output.txt, les coordonnées des points A + B et A − B sont indiqués. L’objectif est de retrouver les coordonnées des points A et B, qui chiffrent le flag.

Inverser

On se sert de 2 propriétés:

• E est un groupe cyclique
• L’ordre de (E) , k, est un nombre non premier

En effet:

from sage.all import *

p = 2**255 - 19
a = 19298681539552699237261830834781317975544997444273427339909597334573241639236
b = 55751746669818908907645289078257140818241103727901012315294400837956729358436

K = GF(p)
E = EllipticCurve([K(a), K(b)])
ordre = E.order() # 57896044618658097711785492504343953926856930875039260848015607506283634007912

On est bien ennuyés, tout ce qui marchait avant (../elliptical_addventure) ne marche plus. On va s'y ramener en se ramenant à un groupe plus petit d'ordre premier

k//8 est premier donc son inverse h vérifie (1) $$2h = 1+ k//8$$

On utilise en fait le théorème de Lagrange

Inverser:

Pour trouver les bytes correspondant à chaque moitié de flag, on peut multiplier les points par l'inverse du groupe.

Vu que E est cyclique d'ordre 8k, on peut écrire (0< x < 8k) $$A = G.x$$

On possède donc: $$2.A = G(2.x)$$

D'où, d'après (1):

$$(2.A).h = G.(2.h.x) = G.(x+kx)$$

Si par chance x = 8q:

$$(2.A).h = G.(x+8kq) = G.x + (G.8kq ) = A + 0 = A$$

Attention:

En notation additive: g * (8kq) = (g * 8k) * q = 0 * q = 0

En notation multiplicative: g^{8kq} = (g^{8k})^q = 1^q = 1

Dans les 2 cas on travaille sur des puissances sauf qu'on utilise la première notation car ça nous arrange de noter 0 le 0 = point à l'infini de la courbe E.

Retrouver A et B (cas réel: non multiple de 8)

Si l'on écrit $$x = 8q +r$$

On a: $$(2.A).h = G.(x+k(8q+r)) = G.x + (G.8kq ) +G.r = A + 0 + G.kr$$

D'où

$$(2.A).h - G.kr = A$$

Ainsi on peut boucler sur r pour trouver A:

from Crypto.Util.number import long_to_bytes
from sage.all import *

p = 2**255 - 19
a = 19298681539552699237261830834781317975544997444273427339909597334573241639236
b = 55751746669818908907645289078257140818241103727901012315294400837956729358436

K = GF(p)
E = EllipticCurve([K(a), K(b)])

G = E(17794503229134353635970439812949297100225489487588172568389327897754746546280, 17671033459111968710988296061676524036652749365424210951665329683594356030064) #E.gens()

A_plus_B = E(36383477447355227427363222958872178861271407378911499344076860614964920782192, 26621351750863883655273158873320913584591963316330338897549941610801666281894)
A_minus_B = E(35017143636654127615837925410012912090234292410137109973033835965781971515338, 55888666729705323990488128732989325970476008697224551268788692630541877244410)

aa = A_plus_B + A_minus_B #2A
bb = A_plus_B - A_minus_B #2B

k = E.order()//8 #premier
h = (k + 1) // 2 #inverse de k dans E (modulo 2)

number = 8

for r in range(number):
        A = aa*h - G*k*r
        if A + A == aa:
                partie = long_to_bytes(int(A[0]))
                if partie.startswith(b"FCSC{"):
                        print(partie.decode(), end = '')
                        break

for r in range(number):
        B = bb*h - G*k*r 
        if B + B == bb:
                partie = long_to_bytes(int(B[0]))
                if partie.endswith(b"}"):
                        print(partie.decode())
                        break